9. BASE E DIMENSÃO

  1. Determine uma base para:
\mathbb{R}^{2}
  1. Determine a dimensão de:
P_{3}
  1. Determine uma base para o espaço das matrizes diagonais.
  2. Extraia uma base do conjunto:
(1,0,1),(2,0,2),(0,1,1)
  1. Determine coordenadas do vetor:
(3,2)
na base:
(1,1),(1,-1)
  1. Determine a dimensão do espaço solução do sistema homogêneo associado.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados que temos, para não nos perder. Há vários itens distintos; cada um pede algo diferente:
  • Item 1: "Determine uma base para: \mathbb{R}^{2}\)". Ou seja, dar um conjunto de vetores em \(\mathbb{R}^{2}\) que seja linearmente independente e que gere \(\mathbb{R}^{2}\). - Item 2: "Determine a dimensão de: \(P_{3}\)". Aqui \(P_{3}\) é o espaço dos polinômios com grau menor ou igual a 3 (assumirei essa definição padrão). Preciso informar a dimensão desse espaço. - Item 3: "Determine uma base para o espaço das matrizes diagonais." O enunciado não especifica a ordem das matrizes; vou tratar o caso geral das matrizes diagonais \(n\times n\) (a resposta especial para \(2\times2\) surge do caso \(n=2\)). - Item 4: "Extraia uma base do conjunto: \((1,0,1), (2,0,2), (0,1,1)\)". Ou seja, a partir desse conjunto em \(\mathbb{R}^{3}\) escolher um subconjunto que seja base do subespaço gerado por eles. - Item 5: "Determine coordenadas do vetor: \((3,2)\) na base: \((1,1), (1,-1)\)". Preciso escrever o vetor \((3,2)\) como combinação linear dessas duas bases e fornecer os coeficientes. - Item 6: "Determine a dimensão do espaço solução do sistema homogêneo associado." Vou interpretar esse pedido como o espaço solução do sistema homogêneo cujo coeficiente é a matriz cujas linhas são os vetores do item 4 (isto é, o sistema dado por: \[\begin{cases} (1,0,1)\cdot(x,y,z)=0,\\[4pt] (2,0,2)\cdot(x,y,z)=0,\\[4pt] (0,1,1)\cdot(x,y,z)=0. \end{cases}). Se essa interpretação estivertica ok, o que se precisa é a dimensão do núcleo (nullspace) dessa matriz.
Não vou resolver nada ainda aqui: só organizei o que cada item pede e os dados usados (peguei explicitamente os três vetores (1,0,1)\], \((2,0,2), (0,1,1) do enunciado para os itens 4 e 6).]

Passo 2

Item 1 — o que é uma base e uma escolha natural para \mathbb{R}^{2}.
Breve aula: Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfazem duas coisas simultâneas:
  1. São linearmente independentes (nenhum vetor do conjunto é combinação linear dos outros).
  2. Geram o espaço (qualquer vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear deles).
Para \mathbb{R}^{2} a escolha mais simples e padrão é a chamada base canônica:
e_1 = (1,0),\qquad e_2 = (0,1).
Por que isso funciona?
  • Linearmente independentes: se a(1,0)+b(0,1)=(0,0) então a=0 e b=0.
  • Geram \mathbb{R}^{2}: dado (x,y)\in\mathbb{R}^2, tem-se (x,y)=x(1,0)+y(0,1).
Conclusão: \{(1,0),(0,1)\} é uma base de \mathbb{R}^{2}.

Passo 3

Item 2 — dimensão de P_{3}.
Breve aula: P_{3} é o espaço dos polinômios com grau menor ou igual a 3, ou seja, todos os polinômios da forma
a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3,
com a_0,a_1,a_2,a_3\in\mathbb{R}. Para formar uma base natural, tomamos os polinômios que isolam cada coeficiente:
1,\; x,\; x^2,\; x^3.
Esses quatro são linearmente independentes e geram P_3. Portanto a dimensão é o número de vetores da base.
Conclusão: \dim(P_3)=4.

Passo 4

Item 3 — base para o espaço das matrizes diagonais (caso geral n\times n).
Breve aula: Uma matriz diagonal D tem todos os elementos fora da diagonal principal iguais a zero; ela é determinada apenas pelos n elementos d_{11},d_{22},\dots,d_{nn}. Logo os graus de liberdade são n. Uma base conveniente são as matrizes que têm um único 1 numa posição diagonal e zeros nas demais. Denotando por E_{ii} a matriz que tem 1 na entrada (i,i) e 0 em todas as outras entradas, o conjunto
\{E_{11},E_{22},\dots,E_{nn}\}
é uma base do espaço das matrizes diagonais n\times n.
Verificação rápida:
  • Geram: uma diagonal \operatorname{diag}(d_{11},\dots,d_{nn}) pode ser escrita como \sum_{i=1}^n d_{ii} E_{ii}.
  • Independência linear: se \sum_{i=1}^n c_i E_{ii}=0 então cada c_i deve ser zero (porque cada posição diagonal dá uma equação c_i=0).
Consequência: a dimensão do espaço das matrizes diagonais n\times n é n.
Observação: para 2\times2 isso dá base \{\operatorname{diag}(1,0),\operatorname{diag}(0,1)\} e dimensão 2.

Passo 5

Item 4 — extrair uma base do conjunto (1,0,1),(2,0,2),(0,1,1).
Vamos chamar os vetores de
v_1=(1,0,1),\quad v_2=(2,0,2),\quad v_3=(0,1,1).
Estratégia didática: verificar se há dependências simples. Observação imediata: v_2=2v_1. Isso mostra que v_2 é combinação linear de v_1, logo não contribui para uma base (é redundante).
Restam v_1 e v_3. Precisamos verificar se estes dois são linearmente independentes. Considere a v_1 + b v_3 = 0. Escrevendo coordenadas:
a(1,0,1) + b(0,1,1) = (a,\; b,\; a+b) = (0,0,0).
Isso dá o sistema
a=0,\quad b=0,\quad a+b=0.
As duas primeiras equações já forçam a=0 e b=0, portanto v_1 e v_3 são linearmente independentes.
Como v_2 é múltiplo de v_1, o conjunto \{v_1,v_3\} gera o subespaço gerado pelos três vetores. Logo é uma base do subespaço gerado pelos vetores originais.
Conclusão: uma base extraída é \{(1,0,1), (0,1,1)\}.

Passo 6

Item 5 — coordenadas de [(3,2)) na base (1,1),(1,-1).
Queremos encontrar escalares c_1,c_2 tais que
c_1(1,1)+c_2(1,-1)=(3,2).
Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} c_1 + c_2 = 3,\\[4pt] c_1 - c_2 = 2. \end{cases}
Resolva o sistema: somando as equações dá 2c_1=5\], então \(c_1=\dfrac{5}{2}. Substituindo em c_1+c_2=3 obtemos c_2=3-\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{2}.
Portanto as coordenadas de (3,2) na base \{(1,1),(1,-1)\} são \left(\dfrac{5}{2},\dfrac{1}{2}\right).
Breve comentário prático: em prova, montar as equações diretamente como acima e resolver por soma/subtração é rápido e seguro.]

Passo 7

Item 6 — dimensão do espaço solução do sistema homogêneo associado (interpretação: sistema com as linhas os vetores do item 4).
Relembre: Se A\) é a matriz cujo conjunto de linhas é \(\{v_1,v_2,v_3\}\) do item 4, então a dimensão do espaço solução (o núcleo, ou nullspace) do sistema homogêneo \(A(x,y,z)^{T}=0\) é dada pelo teorema da dimensão (rank-nullity): \[\dim(\ker A)=n-\operatorname{rank}(A),
onde n é o número de colunas (neste caso n=3, pois trabalhamos em \mathbb{R}^3) e \operatorname{rank}(A) é a dimensão do espaço gerado pelas linhas (ou colunas) de A.
Do Passo 5 temos que as três linhas geram um espaço de dimensão 2 (a base das linhas é \{v_1,v_3\}). Logo \operatorname{rank}(A)=2. Assim
\dim(\ker A)=3-2=1.
Se quiser, dá para encontrar explicitamente uma base do núcleo: resolvendo
\begin{cases} x+z=0,\\[4pt] y+z=0, \end{cases}
(obtidas das equações com v_1\] e \(v_3; a equação com v_2 é redundante). Daí x=-z,\; y=-z. Tomando z=t obtemos (x,y,z)=t(-1,-1,1). Logo o núcleo é gerado por (-1,-1,1) e tem dimensão 1, consistente com a conta anterior.]

Resposta

\{(1,0),(0,1)\}
\dim(P_3)=4
\{E_{11},E_{22},\dots,E_{nn}\} (para matrizes diagonais n\times n)
\{(1,0,1),(0,1,1)\}
\left(\dfrac{5}{2},\dfrac{1}{2}\right)
\dim(\text{espaço solução})=1ççã

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