9. BASE E DIMENSÃO
- Determine uma base para:
- Determine a dimensão de:
- Determine uma base para o espaço das matrizes diagonais.
- Extraia uma base do conjunto:
- Determine coordenadas do vetor:
na base:
- Determine a dimensão do espaço solução do sistema homogêneo associado.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados que temos, para não nos perder. Há vários itens distintos; cada um pede algo diferente:
- Item 1: "Determine uma base para: ). Se essa interpretação estivertica ok, o que se precisa é a dimensão do núcleo (nullspace) dessa matriz.
Não vou resolver nada ainda aqui: só organizei o que cada item pede e os dados usados (peguei explicitamente os três vetores
,
do enunciado para os itens 4 e 6).]
Passo 2
Item 1 — o que é uma base e uma escolha natural para
.
Breve aula: Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfazem duas coisas simultâneas:
- São linearmente independentes (nenhum vetor do conjunto é combinação linear dos outros).
- Geram o espaço (qualquer vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear deles).
Para
a escolha mais simples e padrão é a chamada base canônica:
Por que isso funciona?
- Linearmente independentes: se
então e . - Geram
: dado , tem-se .
Conclusão:
é uma base de
.
Passo 3
Item 2 — dimensão de
.
Breve aula:
é o espaço dos polinômios com grau menor ou igual a 3, ou seja, todos os polinômios da forma
com
. Para formar uma base natural, tomamos os polinômios que isolam cada coeficiente:
Esses quatro são linearmente independentes e geram
. Portanto a dimensão é o número de vetores da base.
Conclusão:
.
Passo 4
Item 3 — base para o espaço das matrizes diagonais (caso geral
).
Breve aula: Uma matriz diagonal
tem todos os elementos fora da diagonal principal iguais a zero; ela é determinada apenas pelos
elementos
. Logo os graus de liberdade são
. Uma base conveniente são as matrizes que têm um único 1 numa posição diagonal e zeros nas demais. Denotando por
a matriz que tem
na entrada
e
em todas as outras entradas, o conjunto
é uma base do espaço das matrizes diagonais
.
Verificação rápida:
- Geram: uma diagonal
pode ser escrita como . - Independência linear: se
então cada deve ser zero (porque cada posição diagonal dá uma equação ).
Consequência: a dimensão do espaço das matrizes diagonais
é
.
Observação: para
isso dá base
e dimensão
.
Passo 5
Item 4 — extrair uma base do conjunto
.
Vamos chamar os vetores de
Estratégia didática: verificar se há dependências simples. Observação imediata:
. Isso mostra que
é combinação linear de
, logo não contribui para uma base (é redundante).
Restam
e
. Precisamos verificar se estes dois são linearmente independentes. Considere
. Escrevendo coordenadas:
Isso dá o sistema
As duas primeiras equações já forçam
e
, portanto
e
são linearmente independentes.
Como
é múltiplo de
, o conjunto
gera o subespaço gerado pelos três vetores. Logo é uma base do subespaço gerado pelos vetores originais.
Conclusão: uma base extraída é
.
Passo 6
Item 5 — coordenadas de [(3,2)) na base
.
Queremos encontrar escalares
tais que
Escrevendo coordenada a coordenada:
Resolva o sistema: somando as equações dá
. Substituindo em
obtemos
.
Portanto as coordenadas de
na base
são
.
Breve comentário prático: em prova, montar as equações diretamente como acima e resolver por soma/subtração é rápido e seguro.]
Passo 7
Item 6 — dimensão do espaço solução do sistema homogêneo associado (interpretação: sistema com as linhas os vetores do item 4).
Relembre: Se
onde
é o número de colunas (neste caso
, pois trabalhamos em
) e
é a dimensão do espaço gerado pelas linhas (ou colunas) de
.
Do Passo 5 temos que as três linhas geram um espaço de dimensão
(a base das linhas é
). Logo
. Assim
Se quiser, dá para encontrar explicitamente uma base do núcleo: resolvendo
(obtidas das equações com
; a equação com
é redundante). Daí
. Tomando
obtemos
. Logo o núcleo é gerado por
e tem dimensão
, consistente com a conta anterior.]