Questão 0.2. Determine o ângulo entre w=-2 k+i-k e u=(-1 ; 1 ; 0) (V A L O R=1.0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de determinar o ângulo entre os vetores w = -2k + i - k e u = (-1, 1, 0). Aqui, estamos lidando com vetores no espaço tridimensional e vamos precisar usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes de cada vetor. No vetor w, temos os termos i, j e k que representam as direções nos eixos x, y e z, respectivamente.
Para w = -2k + i - k:
  • Componente x: 1 (de i)
  • Componente y: 0 (não há j)
  • Componente z: -2 - 1 = -3 (dos termos k)
Então, podemos escrever w como a sequência de componentes: w = (1, 0, -3).
O vetor u já está dado com as componentes: u = (-1, 1, 0).

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar entre w e u. A fórmula do produto escalar é:
w cdot u = wx cdot ux + wy cdot uy + wz cdot uz
Substituindo as componentes:
w cdot u = (1) cdot (-1) + (0) cdot (1) + (-3) cdot (0) = -1 + 0 + 0 = -1

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular as normas (ou magnitudes) dos dois vetores. A fórmula para a norma de um vetor v = (vx, vy, vz) é:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Para w = (1, 0, -3):
|w| = raiz1^2 + 0^2 + (-3)^2 = raiz1 + 0 + 9 = raiz10
Para u = (-1, 1, 0):
|u| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2

Passo 5

Agora que temos o produto escalar e as normas dos vetores, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre eles:
cos theta = w cdot u|w| cdot |u|
Substituindo os valores que encontramos:
cos theta = -1raiz10 cdot raiz2 = -1raiz20 = -12raiz5 = -raiz510

Passo 6

Para encontrar o ângulo theta, vamos aplicar a função arccos (cosseno inverso):
theta = arccos(-raiz510)
Calculando esse valor, obtemos:
theta approx arccos(-0,2236) approx 103,13^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores w e u é de aproximadamente 103,13 graus.

Exercícios relacionados