Seu rádio-relógio acorda você com um som constante e irritante de frequência de 600 Hz . Uma manhã, ele funciona mal e não pode ser desligado. Em frustração, você deixa cair o rádio-relógio pela janela do seu dormitório do quarto andar, a 15,0 \mathrm{~m} do chão. Suponha que a velocidade do som seja de 343 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Enquanto você ouve o rádio-relógio caindo, que frequência você ouve logo antes de ouvi-lo atingir o chão?

Passo 1

O enunciado pergunta qual frequência você ouve do rádio-relógio “logo antes de ouvi-lo atingir o chão”. Informações fornecidas:
\text{frequência emitida: } f=600\\ \text{Hz}ê
\text{altura da queda: } h=15,0\\ \mathrm{m}
\text{velocidade do som: } v=343\\ \mathrm{m/s}
Você permanece estacionário (ou seja, o observador está em repouso) e o rádio-relógio é a fonte que se move (caindo) em direção ao chão, afastando-se de você. A pergunta quer a frequência percebida f' no instante imediatamente antes do impacto.

Passo 2

Primeiro precisamos da velocidade do rádio-relógio imediatamente antes de atingir o chão. Usamos a cinemática do movimento uniformemente acelerado com aceleração gravitacional g. A fórmula que liga velocidade final v_s, aceleração g, deslocamento h e velocidade inicial v_0 é
v_s^2 = v_0^2 + 2gh.
Aqui a queda parte do repouso, então v_0=0. Logo
v_s = \sqrt{2gh}.
Explicando: essa fórmula vem de integrar a aceleração constante; fisicamente significa que a energia potencial mgh se transforma em energia cinética \tfrac12 m v_s^2, resultando na mesma expressão. Substituindo g=9,80\\ \mathrm{m/s^2} e h=15,0\\ \mathrm{m},
v_s = \sqrt{2\cdot 9,80\cdot 15,0}=\sqrt{294}=17,15\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora precisamos da fórmula do efeito Doppler para o caso de fonte sonora em movimento e observador em repouso, quando a fonte se afasta do observador. Vou deduzir de forma simples e intuitiva:
  • A frequência emitida é f. O período entre ciclos é T=\dfrac{1}{f}.
  • Se a fonte está se movendo com velocidade v_s na direção que aumenta a distância até o observador, durante um período T a fonte se desloca uma distância v_sT. Isso “esticará” a distância entre cristas sucessivas do som.
  • A velocidade do som no ar é v, então a separação entre cristas (comprimento de onda percebido) será
\lambda'=\frac{v}{f}+v_s\cdot\frac{1}{f}=\frac{v+v_s}{f}.
  • O observador, estando em repouso, recebe ondas com velocidade v, então a frequência observada é
f'=\frac{v}{\lambda'}=\frac{v}{(v+v_s)/f}=f\cdot\frac{v}{v+v_s}.
Portanto, para fonte se afastando:
f' = f\cdot\frac{v}{v+v_s}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula usando v_s calculada no Passo 2. Substituindo números:
f' = 600\cdot\frac{343}{343+17,15}.
Calcule o denominador:
343+17,15 = 360,15.

Passo 5

Continuando o cálculo numérico:
f' = 600\cdot\frac{343}{360,15}.
Primeiro a razão:
\frac{343}{360,15}\approx 0,95237,
logo
f' \approx 600\cdot 0,95237 \approx 571,42\\ \text{Hz}.
Arredondando de acordo com os algarismos dados (dados com três algarismos significativos), tomamos
f' \approx 571\\ \text{Hz}.
Ou seja, você ouve uma frequência um pouco menor que a original (efeito Doppler porque a fonte se afasta).

Resposta

571\\ \text{Hz}

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