Seu rádio-relógio acorda você com um som constante e irritante de frequência de 600 Hz . Uma manhã, ele funciona mal e não pode ser desligado. Em frustração, você deixa cair o rádio-relógio pela janela do seu dormitório do quarto andar, a
do chão. Suponha que a velocidade do som seja de
. Enquanto você ouve o rádio-relógio caindo, que frequência você ouve logo antes de ouvi-lo atingir o chão?
Passo 1
O enunciado pergunta qual frequência você ouve do rádio-relógio “logo antes de ouvi-lo atingir o chão”. Informações fornecidas:
Você permanece estacionário (ou seja, o observador está em repouso) e o rádio-relógio é a fonte que se move (caindo) em direção ao chão, afastando-se de você. A pergunta quer a frequência percebida
no instante imediatamente antes do impacto.
Passo 2
Primeiro precisamos da velocidade do rádio-relógio imediatamente antes de atingir o chão. Usamos a cinemática do movimento uniformemente acelerado com aceleração gravitacional
. A fórmula que liga velocidade final
, aceleração
, deslocamento
e velocidade inicial
é
Aqui a queda parte do repouso, então
. Logo
Explicando: essa fórmula vem de integrar a aceleração constante; fisicamente significa que a energia potencial
se transforma em energia cinética
, resultando na mesma expressão. Substituindo
e
,
Passo 3
Agora precisamos da fórmula do efeito Doppler para o caso de fonte sonora em movimento e observador em repouso, quando a fonte se afasta do observador. Vou deduzir de forma simples e intuitiva:
- A frequência emitida é
. O período entre ciclos é . - Se a fonte está se movendo com velocidade
na direção que aumenta a distância até o observador, durante um período a fonte se desloca uma distância . Isso “esticará” a distância entre cristas sucessivas do som. - A velocidade do som no ar é
, então a separação entre cristas (comprimento de onda percebido) será
- O observador, estando em repouso, recebe ondas com velocidade
, então a frequência observada é
Portanto, para fonte se afastando:
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula usando
calculada no Passo 2. Substituindo números:
Calcule o denominador:
Passo 5
Continuando o cálculo numérico:
Primeiro a razão:
logo
Arredondando de acordo com os algarismos dados (dados com três algarismos significativos), tomamos
Ou seja, você ouve uma frequência um pouco menor que a original (efeito Doppler porque a fonte se afasta).