Encontre a solução particular de:
x^2 y^prime prime+5 x y^prime+4 y=0
que satisfaz y(1)=0, y^prime(1)=1.

Passo 1

O enunciado pede a solução particular da equação de Euler–Cauchy
x^2y'' + 5x,y' + 4y = 0
que satisfaz as condições iniciais y(1)=0 e y'(1)=1. Vamos resolver usando o ansatz de potência y=x^m para obter a solução geral e depois ajustar as constantes pelos dados em x=1.

Passo 2

Assumindo y=x^m, temos
y'=m,x^m-1, y''=m(m-1),x^m-2
Substituindo na equação:
x^2l[m(m-1)x^m-2r] +5xl[mx^m-1r]+4x^m=0
Rightarrow m(m-1)x^m+5m,x^m+4x^m=0
Rightarrow l[m(m-1)+5m+4r]x^m=0
Rightarrow m^2+4m+4=0
que tem raiz dupla m=-2.

Passo 3

Para raiz dupla em equação de Euler, a solução geral é
y = C1x^-2 + C2,x^-2ln x

Passo 4

Aplicando y(1)=0:
y(1)=C1cdot1^-2+C2cdot1^-2ln1 = C1+0 = 0
Logo C1=0.

Passo 5

Agora y = C2,x^-2ln x. Calculamos a derivada:
y' = C2,ddxl(x^-2ln xr) = C2,x^-3l(1-2ln xr)
Impondo y'(1)=1:
y'(1)=C2cdot1^-3(1-2ln1)=C2cdot1 = 1
Logo C2=1.

Passo 6

Substituindo as constantes, a solução particular é
y = x^-2ln x

Resposta

y = x^-2ln x

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