Nos problemas abaixo, resolva as Equações Diferenciais de Primeira Ordem de acordo com os tipos indicados:
(Equação Exata)
.
(Equação Exata)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa resolver uma Equação Diferencial de Primeira Ordem que é do tipo Exata. Para isso, vamos usar o conceito de equações exatas e integrar as partes correspondentes. Vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como encontrar uma função potencial que satisfaz a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. A equação dada é:
Aqui, podemos ver que
é o coeficiente de
e
é o coeficiente de
.
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular:
Como
, a equação é realmente exata!
Passo 4
Agora que confirmamos que é uma equação exata, sabemos que existe uma função potencial
tal que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que surge da integração.
Passo 5
Em seguida, vamos derivar
em relação a
e igualar a
para encontrar
:
Sabemos que
, então:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos integrar
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, substituímos
de volta na expressão de
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: