Nos problemas abaixo, resolva as Equações Diferenciais de Primeira Ordem de acordo com os tipos indicados:
(Equação Exata) (t^2+x^2) d t+(2 t x-x) d x=0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa resolver uma Equação Diferencial de Primeira Ordem que é do tipo Exata. Para isso, vamos usar o conceito de equações exatas e integrar as partes correspondentes. Vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como encontrar uma função potencial que satisfaz a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. A equação dada é:
(t^2 + x^2) dt + (2 t x - x) dx = 0
Aqui, podemos ver que é o coeficiente de e é o coeficiente de .

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de partial Mpartial x = partialpartial x (t^2 + x^2) = 2x em relação a partial Npartial t = partialpartial t (2tx - x) = 2x é igual à derivada parcial de em relação a . Vamos calcular:
Como , a equação é realmente exata!

Passo 4

Agora que confirmamos que é uma equação exata, sabemos que existe uma função potencial dF = M dt + N dx tal que:
F(t, x) = integral M , dt = integral (t^2 + x^2) , dt = t^33 + x^2 t + h(x)
Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função de que surge da integração.

Passo 5

Em seguida, vamos derivar partial Fpartial x = partialpartial x ( t^33 + x^2 t + h(x) ) = 2xt + h'(x) em relação a 2xt + h'(x) = 2tx - x e igualar a h'(x) = -x para encontrar :
Sabemos que , então:
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos integrar h(x) = integral -x , dx = -x^22 + C para encontrar :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos F(t, x) = t^33 + x^2 t - x^22 = C de volta na expressão de :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
t^33 + x^2 t - x^22 = C

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