Uma substância A escoa em um filme estreito descendente pela superficie externa de um cilindro vertical a uma taxa de 0,1 \mathrm{~g} / \mathrm{s}. Ar seco (B) a 60^{\circ} \mathrm{C} e latm flui em direção normal ao cilindro a 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O cilindro tem 7,6 cm diâmetro e a temperatura do liquido é 15^{\circ} \mathrm{C}. Dados: P_{A}^{s a t}\left(15^{\circ} \mathrm{C}\right)=60 \mathrm{mmHg} ; D_{A B}=0,0984 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} ; \mu / \rho= 1,6.10^{-1} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}. Com base nessas informações, calcule:
a) O fluxo molar de A que evapora da superfície do cilindro.
b) O comprimento do cilindro para que A não chegue a sua base.

Passo 1

O enunciado trata da evaporação de uma substância A de um filme líquido que escorre pela face de um cilindro vertical de diâmetro d=7{,}6\:\mathrm{cm}. O ar seco (B) flui perpendicularmente ao cilindro com velocidade v=5\:\mathrm{m/s} (500 cm/s) e temperatura 60^\circ\mathrm{C}. A temperatura da superfície líquida é 15^\circ\mathrm{C}, com pressão de vapor de saturação de A igual a P_{A}^{\mathrm{sat}}(15^\circ\mathrm{C})=60\:\mathrm{mmHg}. O fluxo de filme é 0,1\:\mathrm{g/s} de A e precisamos calcular:
a) o fluxo molar de A evaporado da superfície (mol/ m^{2}·s);
b) o comprimento L do cilindro para que todo o filme evapore antes de alcançar a base.
Para resolver vamos usar correlação de convecção para cilindro em escoamento transversal (Sherwood), balanço cinético-difusivo (Lei de Fick) e balanço de massa ao longo do filme.

Passo 2

Calculamos primeiro o número de Reynolds e de Schmidt para o escoamento no lado gás.
Re = \frac{v\,d}{\nu} = \frac{500\:\text{cm/s}\times7{,}6\:\text{cm}}{1{,}6\times10^{-1}\:\text{cm}^2\!/s} = 2,375\times10^4
Sc = \frac{\nu}{D_{AB}} = \frac{1{,}6\times10^{-1}}{0{,}0984} = 1{,}626
Usando a correlação de Ranz–Marshall (análogo massa–calor) para cilindro:
Sh = 0{,}3 \;+\; 0{,}62\,Re^{1/2}\,Sc^{1/3}
Re^{1/2}=154{,}1,\quad Sc^{1/3}=1{,}626^{1/3}=1{,}18
Sh = 0{,}3 + 0{,}62\times154{,}1\times1{,}18 = 113{,}0
O coeficiente de transferência de massa é
k_c = \frac{Sh\,D_{AB}}{d} = \frac{113{,}0\times0{,}0984\:\mathrm{cm}^2/s}{7{,}6\:\mathrm{cm}} =1{,}463\:\mathrm{cm/s} =0{,}01463\:\mathrm{m/s}

Passo 3

Agora obtemos a concentração de A em equilíbrio na superfície do cilindro. A fração molar em saturação é
y_{A,s} = \frac{P_{A}^{\mathrm{sat}}}{P_{\mathrm{tot}}} = \frac{60\:\mathrm{mmHg}}{760\:\mathrm{mmHg}} =0{,}07895
A concentração total do gás a 60^\circ\mathrm{C} e 1 atm é
C_{\mathrm{tot}} = \frac{P}{R\,T} = \frac{1{,}013\times10^5\:\mathrm{Pa}}{8{,}314\:\mathrm{J/mol\,K}\times333\:\mathrm{K}} =36{,}59\:\mathrm{mol/m^3}
C_{A,s} = y_{A,s}\,C_{\mathrm{tot}} =0{,}07895\times36{,}59 =2{,}887\:\mathrm{mol/m^3}
Pela Lei de Fick (difusão convectiva em filme de gás), o fluxo molar por superfície é
N_A = k_c\,(C_{A,s}-C_{A,\infty}) =0{,}01463\:\mathrm{m/s}\times2{,}887\:\mathrm{mol/m^3} =0{,}04228\:\mathrm{mol/m^2\,s}

Passo 4

Esse é o fluxo molar de A que evapora da superfície do cilindro:
\boxed{N_A = 4{,}23\times10^{-2}\:\mathrm{mol/m^2\,s}}

Passo 5

Para garantir que todo o filme (0,1 g/s de A) evapore antes da base, igualamos a taxa de evaporação total ao fornecimento de massa. A taxa total de evaporação por comprimento L é
\dot n = N_A\;( \pi d\,L)
Convertendo o filme em mol/s, se usarmos massa molar de A, M_A (g/mol), o balanço é
\frac{0,1\:\mathrm{g/s}}{M_A} \;=\;N_A\,\pi\,d\,L \quad\Longrightarrow\quad L = \frac{0,1/M_A}{N_A\,\pi\,d}
Se A for, por exemplo, benzene M_A=78\:\mathrm{g/mol}, então
\frac{0,1}{78}=1{,}282\times10^{-3}\:\mathrm{mol/s}
L = \frac{1{,}282\times10^{-3}}{0{,}04228\times\pi\times0{,}076} =0{,}127\:\mathrm{m}

Resposta

(a) N_A = 4,23\times10^{-2}\:\mathrm{mol/m^2\,s}.
(b)
L = \frac{0{,}1/M_A}{N_A\,\pi\,d} \quad(\text{para }M_A=78\:\mathrm{g/mol},\;L\approx0{,}13\:\mathrm{m}).

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