( 2,5 pontos) Uma placa de espessura
tem uma distribuição inicial de temperatura
. Em
, a superfície em
é mantida isolada, e em
está trocando calor por convecção com um fluido cujo coeficiente de transferência de calor é muito elevado e temperatura da corrente livre igual a
.
a) Desenvolva uma expressão da distribuição de temperatura unidimensional, dependente do tempo
na placa.
b) Calcule a temperatura da superfície isolada emt=6 min, 1 e 2 h numa placa de espessura
, e difusividade térmica
. To é obtido sorteando um valor entre 200 e 250.
c) Suponha que a placa está gerando calor com uma taxa por unidade de volume igual a g0. Mantendo as mesmas condições de contorno e a inicial. Determine a nova distribuição de temperatura
.
a) Desenvolva uma expressão da distribuição de temperatura unidimensional, dependente do tempo
b) Calcule a temperatura da superfície isolada emt=6 min, 1 e 2 h numa placa de espessura
c) Suponha que a placa está gerando calor com uma taxa por unidade de volume igual a g0. Mantendo as mesmas condições de contorno e a inicial. Determine a nova distribuição de temperatura
Passo 1
O enunciado trata da difusão unidimensional de calor numa placa de espessura
com condutividade térmica
e difusividade
. Para
mantemos em
isolante
e em
um convetor com coeficiente de transferência muito grande, o que equivale a
. A condição inicial é
Vamos usar o método de separação de variáveis sobre
e explorar que a condição inicial já contém apenas o primeiro modo próprio.
Passo 2
Definimos
de modo que satisfaça
e a condição inicial
Procuramos soluções do tipo
. O problema de autovalores em
é
Isso leva a modos
com
ou seja
Passo 3
Como a condição inicial tem somente o modo
, a solução numérica é uniterma:
Para
deve dar
, logo
. Voltando a
:
Passo 4
Em
(superfície isolada) temos
Com
,
,
, definimos
Para
min
:
Para
h
:
Para
h
:
Passo 5
Com geração volumétrica
, a equação passa a ter termo fonte:
onde
é a capacidade térmica volumétrica. Primeiro achamos o estado estacionário
resolvendo
Isso dá
A solução geral é soma do estacionário com a parte transitória homogênea (mesmo modos anteriores):
onde os coeficientes
vêm da expansão de
em
. Como o enunciado deu só o primeiro modo na inicial, o mais direto é escrever o resultado em série geral.
Resposta
(a)
(b)
(c)
com
obtidos expandindo
nos modos
.