( 2,5 pontos) Uma placa de espessura L tem uma distribuição inicial de temperatura \mathrm{T}_{\mathrm{i}}=\mathrm{T}_{0} \cos [(\pi \mathrm{x}) / 2 \mathrm{~L}]. Em \mathrm{t}>0, a superfície em x=0 é mantida isolada, e em x=L está trocando calor por convecção com um fluido cujo coeficiente de transferência de calor é muito elevado e temperatura da corrente livre igual a 25^{\circ} \mathrm{C}.
a) Desenvolva uma expressão da distribuição de temperatura unidimensional, dependente do tempo T(x, t) na placa.
b) Calcule a temperatura da superfície isolada emt=6 min, 1 e 2 h numa placa de espessura \mathrm{L}=10 \mathrm{~cm}, e difusividade térmica \alpha=10^{-7} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}. To é obtido sorteando um valor entre 200 e 250.
c) Suponha que a placa está gerando calor com uma taxa por unidade de volume igual a g0. Mantendo as mesmas condições de contorno e a inicial. Determine a nova distribuição de temperatura \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{t}).

Passo 1

O enunciado trata da difusão unidimensional de calor numa placa de espessura L com condutividade térmica k e difusividade \alpha. Para t>0 mantemos em x=0 isolante \partial T/\partial x=0 e em x=L um convetor com coeficiente de transferência muito grande, o que equivale a T(L,t)=T_\infty=25\,^\circ\mathrm{C}. A condição inicial é
T(x,0)=T_i(x)=T_0\cos\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2L}\bigr).
Vamos usar o método de separação de variáveis sobre \theta(x,t)=T(x,t)-T_\infty e explorar que a condição inicial já contém apenas o primeiro modo próprio.

Passo 2

Definimos
\theta(x,t)=T(x,t)-T_\infty,
de modo que satisfaça
\frac{\partial\theta}{\partial t}=\alpha\frac{\partial^2\theta}{\partial x^2},\quad \frac{\partial\theta}{\partial x}(0,t)=0,\quad \theta(L,t)=0,
e a condição inicial
\theta(x,0)=T_0\cos\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2L}\bigr).
Procuramos soluções do tipo \Theta(x)\,e^{-\lambda t}. O problema de autovalores em x é
\Theta''+\frac{\lambda}{\alpha}\,\Theta=0,\quad \Theta'(0)=0,\\ \Theta(L)=0.
Isso leva a modos \Theta_n(x)=\cos(k_n x) com
k_nL=\tfrac{(2n+1)\pi}{2},\quad n=0,1,2,\dots,
ou seja
k_n=\frac{(2n+1)\pi}{2L},\quad \lambda_n=\alpha\,k_n^2.

Passo 3

Como a condição inicial tem somente o modo n=0, a solução numérica é uniterma:
\theta(x,t) =\;A_0\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi x}{2L}\Bigr)\, \exp\!\Bigl[-\alpha\bigl(\tfrac{\pi}{2L}\bigr)^2t\Bigr].
Para t=0 deve dar \theta(x,0)=T_0\cos\bigl(\tfrac{\pi x}{2L}\bigr), logo A_0=T_0. Voltando a T:
\boxed{T(x,t)=T_\infty +T_0\cos\!\Bigl(\frac{\pi x}{2L}\Bigr) \exp\!\Bigl[-\alpha\bigl(\tfrac{\pi}{2L}\bigr)^2t\Bigr].}

Passo 4

Em x=0 (superfície isolada) temos
T(0,t)=T_\infty +T_0\exp\!\Bigl[-\alpha\bigl(\tfrac{\pi}{2L}\bigr)^2t\Bigr].
Com L=0{,}10\,\mathrm m, \alpha=10^{-7}\,\mathrm{m^2/s}, T_\infty=25, definimos
\beta=\alpha\Bigl(\frac{\pi}{2L}\Bigr)^2 =10^{-7}\Bigl(\frac{\pi}{0{,}2}\Bigr)^2\approx2{,}4674\times10^{-6}\,\mathrm{s^{-1}}.
Para t_1=6 min =360\,\mathrm s:
T(0,360) =25+T_0e^{-2{,}4674\times10^{-6}\cdot360} =25+T_0e^{-0{,}0008883} \approx25+0{,}99911\,T_0.
Para t_2=1 h =3600\,\mathrm s:
T(0,3600)\approx25+T_0e^{-0{,}0088826} \approx25+0{,}99115\,T_0.
Para t_3=2 h =7200\,\mathrm s:
T(0,7200)\approx25+T_0e^{-0{,}017765} \approx25+0{,}98240\,T_0.

Passo 5

Com geração volumétrica g_0, a equação passa a ter termo fonte:
\frac{\partial T}{\partial t} =\alpha\frac{\partial^2T}{\partial x^2}+\frac{g_0}{\rho c},
onde \rho c é a capacidade térmica volumétrica. Primeiro achamos o estado estacionário T_{ss}(x) resolvendo
k\frac{d^2T_{ss}}{dx^2}+g_0=0,\quad T'_{ss}(0)=0,\quad T_{ss}(L)=T_\infty.
Isso dá
T_{ss}(x) =T_\infty+\frac{g_0}{2k}\bigl(L^2-x^2\bigr).
A solução geral é soma do estacionário com a parte transitória homogênea (mesmo modos anteriores):
T(x,t) =T_{ss}(x) +\sum_{n=0}^{\infty}B_n\cos\!\bigl(k_nx\bigr) \exp\!\bigl(-\alpha k_n^2t\bigr),
onde os coeficientes B_n vêm da expansão de \;T_i(x)-T_{ss}(x) em \cos(k_nx). Como o enunciado deu só o primeiro modo na inicial, o mais direto é escrever o resultado em série geral.

Resposta

(a)
T(x,t)=25 +T_0\cos\!\Bigl(\frac{\pi x}{2L}\Bigr) \exp\!\Bigl[-\alpha\bigl(\tfrac{\pi}{2L}\bigr)^2t\Bigr].
(b)
T(0,6\min)\approx25+0{,}99911\,T_0, \quad T(0,1\mathrm h)\approx25+0{,}99115\,T_0, \quad T(0,2\mathrm h)\approx25+0{,}98240\,T_0.
(c)
T(x,t) =T_\infty+\frac{g_0}{2k}\bigl(L^2-x^2\bigr) +\sum_{n=0}^\infty B_n\cos\!\bigl(\tfrac{(2n+1)\pi x}{2L}\bigr) \exp\!\Bigl[-\alpha\bigl(\tfrac{(2n+1)\pi}{2L}\bigr)^2t\Bigr],
com \;B_n obtidos expandindo \;T_i(x)-T_{ss}(x) nos modos \cos(k_nx).

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