Substitua a quantificação negativa pela correspondente quantificação sem a negação.
\sim \exists x(P x \wedge \sim A x)

Passo 1

O enunciado pede para substituir a quantificação negativa pela correspondente quantificação sem a negação.
A expressão dada é \sim \exists x (P x \wedge \sim A x).
Informações relevantes: temos uma negação externa aplicada a um quantificador existencial e dentro há uma conjunção P x \wedge \sim A x.

Passo 2

Regra 1 — negação de quantificadores: a negação de uma existência transforma-se em um universal com a negação interna. Formalmente,
\sim \exists x\,\varphi(x) \equiv \forall x\,\sim\varphi(x).
Isso significa que "não existe x tal que \varphi(x)" é o mesmo que "para todo x, não \varphi(x)".

Passo 3

Aplicando a Regra 1 à expressão dada, obtemos
\sim \exists x (P x \wedge \sim A x) \equiv \forall x\,\sim (P x \wedge \sim A x).
Agora a negação está dentro do quantificador universal, ainda ligada a uma conjunção.

Passo 4

Regra 2 — Leis de De Morgan para conectivos lógicos: a negação de uma conjunção vira disjunção das negações. Formalmente,
\sim (B \wedge C) \equiv (\sim B) \vee (\sim C).
Aplicando isso a \sim (P x \wedge \sim A x) temos
\sim (P x \wedge \sim A x) \equiv (\sim P x) \vee (\sim\sim A x).

Passo 5

Regra 3 — dupla negação: \sim\sim D \equiv D. Aplicando-a ao termo \sim\sim A x obtemos A x. Portanto
\forall x\,\sim (P x \wedge \sim A x) \equiv \forall x\,\bigl((\sim P x) \vee A x\bigr).
Esta fórmula já elimina a negação do quantificador (era o pedido).

Passo 6

Forma alternativa (útil na prova): lembrar que uma disjunção (\sim P x) \vee A x é equivalente à implicação P x \to A x. Ou seja,
(\sim P x) \vee A x \equiv P x \to A x.
Assim a expressão pode ser escrita de maneira mais compacta como
\forall x\,(P x \to A x).

Resposta

\forall x(\sim P x \vee A x)
\forall x(P x \to A x)

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