Dado x um número real, determine o valor lógico de cada uma das proposições quantificadas a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o valor lógico da proposição quantificada
Informações dadas:
- O domínio de
é o conjunto dos números reais (foi dito “Dado um número real”). - A quantificação é universal:
significa “para todo real”. - O predicado a analisar é
.
A pergunta é: essa proposição universal é verdadeira ou falsa?
Passo 2
Vou lembrar o que significa uma proposição na forma
: ela é verdadeira se, e somente se, para cada elemento do domínio (aqui, para todo
) a propriedade
for verdadeira. Portanto precisamos mostrar que para qualquer real
a desigualdade
vale, ou então encontrar algum real que a faça falsa.
Passo 3
Vamos analisar a expressão
. Uma propriedade básica de números reais é que o quadrado de um número real nunca é negativo. Em símbolos:
Explicando por que: se
então
porque produto de não-negativos é não-negativo; se
então
e
, logo o quadrado também é não-negativo. O único caso em que
é quando
.
Passo 4
Partindo de
, some 1 dos dois lados da desigualdade (adição preserva desigualdades):
Portanto para todo
temos
. Como
, segue imediatamente que
para todo
real. Isso mostra que o predicado
é verdadeiro para qualquer
.
Passo 5
Só para conferir com exemplos concretos: para
temos
; para
temos
; para
temos
. Todos positivos, coerente com o que provamos.
Passo 6
Vou apresentar também uma prova por contradição (útil em provas): suponha que a proposição universal fosse falsa, então existiria algum
tal que
. Isso implica
. Mas isso é impossível porque já sabemos que
para todo real
; não existe
com
. Contradição, então a proposição original deve ser verdadeira.
Passo 7
Conclusão: o predicado
vale para todos os reais
, portanto a proposição quantificada
é verdadeira.
Resposta
Verdadeira.