Dado x um número real, determine o valor lógico de cada uma das proposições quantificadas a seguir.
\forall x\left(x^{2}+1>0\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor lógico da proposição quantificada
\forall x\,(x^{2}+1>0).
Informações dadas:
  • O domínio de x é o conjunto dos números reais (foi dito “Dado x um número real”).
  • A quantificação é universal: \forall x significa “para todo x real”.
  • O predicado a analisar é P(x)\colon x^{2}+1>0.
    A pergunta é: essa proposição universal é verdadeira ou falsa?

Passo 2

Vou lembrar o que significa uma proposição na forma \forall x\,P(x): ela é verdadeira se, e somente se, para cada elemento do domínio (aqui, para todo x\in\mathbb{R}) a propriedade P(x) for verdadeira. Portanto precisamos mostrar que para qualquer real x a desigualdade x^{2}+1>0 vale, ou então encontrar algum real que a faça falsa.

Passo 3

Vamos analisar a expressão x^{2}. Uma propriedade básica de números reais é que o quadrado de um número real nunca é negativo. Em símbolos:
\forall x\in\mathbb{R},\; x^{2}\ge 0.
Explicando por que: se x\ge 0 então x^{2}\ge 0 porque produto de não-negativos é não-negativo; se x<0 então x^{2}=(-x)^{2} e -x>0, logo o quadrado também é não-negativo. O único caso em que x^{2}=0 é quando x=0.

Passo 4

Partindo de x^{2}\ge 0, some 1 dos dois lados da desigualdade (adição preserva desigualdades):
x^{2}+1 \ge 0+1 = 1.
Portanto para todo x\in\mathbb{R} temos x^{2}+1\ge 1. Como 1>0, segue imediatamente que
x^{2}+1>0
para todo x real. Isso mostra que o predicado P(x) é verdadeiro para qualquer x.

Passo 5

Só para conferir com exemplos concretos: para x=0 temos 0^{2}+1=1>0; para x=2 temos 2^{2}+1=5>0; para x=-3 temos (-3)^{2}+1=10>0. Todos positivos, coerente com o que provamos.

Passo 6

Vou apresentar também uma prova por contradição (útil em provas): suponha que a proposição universal fosse falsa, então existiria algum a\in\mathbb{R} tal que a^{2}+1\le 0. Isso implica a^{2}\le -1. Mas isso é impossível porque já sabemos que a^{2}\ge 0 para todo real a; não existe a com a^{2}\le -1. Contradição, então a proposição original deve ser verdadeira.

Passo 7

Conclusão: o predicado x^{2}+1>0 vale para todos os reais x, portanto a proposição quantificada \forall x\,(x^{2}+1>0) é verdadeira.

Resposta

Verdadeira.

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