SUBSTITUIÇÃO, POR PARTES
integral x cdot e^x d x

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver a integral integral x cdot e^x , dx. O conteúdo que vamos usar aqui é integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções, como é o caso aqui. Vamos precisar identificar quais partes atribuiremos a $ u $ e $ dv $ para aplicar a fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher $ u $ e $ dv $ de forma inteligente. Geralmente, escolhemos $ u $ para ser a função que simplifica quando derivada, e $ dv $ para ser algo que é fácil de integrar.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
u = x e dv = e^x , dx
Agora, vamos derivar $ u $ e integrar $ dv $:
u

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x cdot e^x , dx = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo os valores que encontramos:
= x cdot e^x - integral e^x cdot dx

Passo 5

Vamos resolver a integral que ficou:
integral e^x , dx = e^x + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à expressão anterior:
x cdot e^x - integral e^x , dx = x cdot e^x - e^x + C
Podemos fatorar o $ e^{x} $:
e^x

Resposta

A integral de $ x \cdot e^{x} , dx $ é:
x cdot e^x , dx

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