SUBSTITUIÇÃO, POR PARTES
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver a integral
. O conteúdo que vamos usar aqui é integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções, como é o caso aqui. Vamos precisar identificar quais partes atribuiremos a $ u $ e $ dv $ para aplicar a fórmula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula de integração por partes:
Aqui, precisamos escolher $ u $ e $ dv $ de forma inteligente. Geralmente, escolhemos $ u $ para ser a função que simplifica quando derivada, e $ dv $ para ser algo que é fácil de integrar.
Passo 3
No nosso caso, vamos escolher:
Agora, vamos derivar $ u $ e integrar $ dv $:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Vamos resolver a integral que ficou:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Voltando à expressão anterior:
Podemos fatorar o $ e^{x} $:
Resposta
A integral de $ x \cdot e^{x} , dx $ é: