SUBSTITUIÇÃO, POR PARTES
Passo 1
A gente quer calcular a integral
. Isso cai em Integração por Substituição, pois vemos que a derivada de
é
, bem parecido com o
que aparece ali.
Passo 2
Para simplificar, faça a troca de variável: seja
. Assim, derivando ambos os lados,
. Logo, podemos escrever
Passo 3
Substituindo na integral original, obtemos
$$\int x,\sin(x^2),dx = \int \sin(u),\frac{du}{2} = \frac12 \int \sin(u),du
$$
Passo 4
Agora é só achar a primitiva de
. Sabemos que
$$\int \sin(u),du = -\cos(u) + C
$$
Passo 5
Portanto,
$$\frac12 \int \sin(u),du = \frac12\bigl(-\cos(u)\bigr) + C = -\frac12\cos(u) + C
$$
Passo 6
Voltando para
, como
, a solução final é:
Resposta
-\tfrac{1}{2}\cos\bigl(x^2\bigr) + C