SUBSTITUIÇÃO, POR PARTES
integral x cdot sin x^2 d x

Passo 1

A gente quer calcular a integral integral x,sin(x^2),dx. Isso cai em Integração por Substituição, pois vemos que a derivada de x^2 é 2x, bem parecido com o x,dx que aparece ali.

Passo 2

Para simplificar, faça a troca de variável: seja u = x^2. Assim, derivando ambos os lados, du = 2x,dx. Logo, podemos escrever
x,dx = du2

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
$$\int x,\sin(x^2),dx = \int \sin(u),\frac{du}{2} = \frac12 \int \sin(u),du
$$

Passo 4

Agora é só achar a primitiva de sin(u). Sabemos que
$$\int \sin(u),du = -\cos(u) + C
$$

Passo 5

Portanto,
$$\frac12 \int \sin(u),du = \frac12\bigl(-\cos(u)\bigr) + C = -\frac12\cos(u) + C
$$

Passo 6

Voltando para x, como u = x^2, a solução final é:
-12cosl(x^2r) + C

Resposta

-\tfrac{1}{2}\cos\bigl(x^2\bigr) + C

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