Use algum artifício algébrico e determine cada integral:
integral y raiz2 y+1 d y

Passo 1

A questão pede para calcular integral y raiz2y+1,dy. Isso envolve integrais de funções algébricas, e um artifício comum é usar substituição para transformar em uma integral de potência.

Passo 2

Vamos usar a substituição u = 2y + 1. Assim, du = 2,dy, ou seja, dy = tfrac12,du. Além disso, escrevemos y em função de u: y = tfracu-12.

Passo 3

Substituindo na integral original temos:
integral y raiz2y+1,dy = integral u-12 cdot u^1/2 cdot 12,du = 14 integral (u-1) u^1/2 ,du = 14 integral l(u^3/2 - u^1/2r) ,du

Passo 4

Agora integramos termo a termo usando a regra integral u^n du = tfracu^n+1n+1 + C:
14 ( u^5/25/2 - u^3/23/2 ) + C = 14 ( 25u^5/2 - 23u^3/2 ) + C = 110u^5/2 - 16u^3/2 + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável y usando u=2y+1. Assim, a integral é expressa em função de y.

Resposta

110(2y+1)^5/2 - 16(2y+1)^3/2 + C

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