Encontre a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais:
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
. Reconhecemos que ela se encaixa no tipo Clairaut, em que escrevemos
e procuramos a forma
, para então aplicar a teoria dessa equação.
Passo 2
Adotando
, temos a equação
Isolando
em termos de
e
:
Logo, identificamos que
.
Passo 3
Na equação de Clairaut, a solução geral surge impondo
constante e
Substituindo
:
que forma uma família de retas parametrizada por
.
Passo 4
Para achar a solução singular (envoltória), derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Como
, obtemos
Substituindo em
resulta
Eliminando
pela relação
conduz à curva
que é a solução singular (envoltória) da família.
Resposta
A solução geral é
, com
constante arbitrária. A solução singular (envoltória) é
.