Encontre a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais:
y^prime 2(x-1)-y y^prime=1;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO (x-1)(y')^2 - y,y' = 1. Reconhecemos que ela se encaixa no tipo Clairaut, em que escrevemos p = y' e procuramos a forma y = x,p + g(p), para então aplicar a teoria dessa equação.

Passo 2

Adotando p = y' = dydx, temos a equação
(x-1)p^2 - y,p = 1
Isolando y em termos de x e p:
(x-1)p^2 - y,p = 1 Longrightarrow y = (x-1)p - 1p = x,p - p - 1p
Logo, identificamos que g(p) = -p - 1p.

Passo 3

Na equação de Clairaut, a solução geral surge impondo p = C constante e
y = C,x + g(C)
Substituindo g(C):
y(x) = C,x - C - 1C,
que forma uma família de retas parametrizada por C.

Passo 4

Para achar a solução singular (envoltória), derivamos em relação a C e igualamos a zero:
ddCl(C,x + g(C)r) = x + g'(C) = 0
Como g'(p) = -1 + 1p^2, obtemos
x - 1 + 1C^2 = 0 Longrightarrow x = 1 - 1C^2
Substituindo em y = C,x - C - 1C resulta
y = -2C
Eliminando C pela relação 1C^2 = 1-x conduz à curva
y^2 = 4(1-x),
que é a solução singular (envoltória) da família.

Resposta

A solução geral é y(x) = Cx - C - 1C, com C constante arbitrária. A solução singular (envoltória) é y^2 = 4(1-x).

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