Ao substituir dois títulos de R com vencimento em 30 dias e com vencimento em 30 dias e com vencimento em 60 dias por um título de 300,00 com vencimento em 120 dias, adotando o desconto comercial simples e data focal zero. Qual a taxa de desconto da operação?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre substituir dois títulos de renda (valores) diferentes por um único título, usando desconto comercial simples com data focal zero. Isso faz parte da matéria de Matemática Financeira. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o desconto comercial simples e como aplicar isso nos diferentes prazos e valores dos títulos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é desconto comercial simples. Esse método calcula o desconto (ou seja, o valor que será subtraído do valor nominal do título) com base em uma taxa de desconto, no tempo até o vencimento e no valor nominal do título. A fórmula usada é:
D = Valor Nominal times i times t
onde:
  • $ D $ é o desconto,
  • $ i $ é a taxa de desconto,
  • $ t $ é o tempo até o vencimento (em anos).

Passo 3

Como estamos trabalhando com dias, precisamos converter o tempo de dias para anos. Vamos assumir que um ano tem 360 dias para facilitar os cálculos. Então, as conversões ficam assim:
  • 30 dias: $ t_1 = \frac{30}{360} = \frac{1}{12} $ anos
  • 60 dias: $ t_2 = \frac{60}{360} = \frac{1}{6} $ anos
  • 120 dias: $ t_3 = \frac{120}{360} = \frac{1}{3} $ anos

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor presente (VP) dos dois títulos que estão sendo substituídos usando a fórmula do desconto:
Para o primeiro título de R$ 100,00 com 30 dias:
100,00 com 30 dias:
D1 = 100 times i times 112
Para o segundo título de R$ 300,00 com 60 dias:
VP1 = 100 - D1 = 100 - (100 times i times 112)

Passo 5

Somando os valores presentes dos dois títulos substituídos:
VPtotal = VP1 + VP2
VPtotal = (100 - 100i12) + (300 - 300i6)
VPtotal = 400 - (100i12 + 300i6)
VPtotal = 400 - (100i12 + 600i12)
VPtotal = 400 - 700i12

Passo 6

Agora, o título novo que estamos emitindo tem valor nominal de R$ 419,56 com 120 dias. Vamos calcular o valor presente desse título:
419,56 com 120 dias Vamos calcular o valor presente desse título:
D3 = 419,56 times i times 13

Passo 7

Como a substituição deve manter o equilíbrio financeiro, os valores presentes devem ser iguais:
VPtotal = VP3
400 - 700i12 = 419,56 - 419,56i3

Passo 8

Vamos resolver essa equação para encontrar a taxa de desconto $ i $:
Primeiro, multiplicamos todos os termos por 12 para eliminar os denominadores:
i
12 times 400 - 700i = 12 times 419,56 - 4 times 419,56i
Agora, vamos juntar os termos com $ i $ de um lado e os constantes do outro:
4800 - 700i = 5034,72 - 1678,24i
i
Por fim, isolamos $ i $:
1678,24i - 700i = 5034,72 - 4800
978,24i = 234,72

Resposta

A taxa de desconto da operação é de aproximadamente 24%.

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