Ao substituir dois títulos de
com vencimento em 30 dias e
com vencimento em 60 dias por um título de
com vencimento em 120 dias, adotando o desconto comercial simples e data focal zero. Qual a taxa de desconto da operação?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre substituir dois títulos de renda (valores) diferentes por um único título, usando desconto comercial simples com data focal zero. Isso faz parte da matéria de Matemática Financeira. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o desconto comercial simples e como aplicar isso nos diferentes prazos e valores dos títulos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é desconto comercial simples. Esse método calcula o desconto (ou seja, o valor que será subtraído do valor nominal do título) com base em uma taxa de desconto, no tempo até o vencimento e no valor nominal do título. A fórmula usada é:
onde:
- $ D $ é o desconto,
- $ i $ é a taxa de desconto,
- $ t $ é o tempo até o vencimento (em anos).
Passo 3
Como estamos trabalhando com dias, precisamos converter o tempo de dias para anos. Vamos assumir que um ano tem 360 dias para facilitar os cálculos. Então, as conversões ficam assim:
- 30 dias: $ t_1 = \frac{30}{360} = \frac{1}{12} $ anos
- 60 dias: $ t_2 = \frac{60}{360} = \frac{1}{6} $ anos
- 120 dias: $ t_3 = \frac{120}{360} = \frac{1}{3} $ anos
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor presente (VP) dos dois títulos que estão sendo substituídos usando a fórmula do desconto:
Para o primeiro título de R$ 100,00 com 30 dias:
Para o segundo título de R$ 300,00 com 60 dias:
Passo 5
Somando os valores presentes dos dois títulos substituídos:
Passo 6
Agora, o título novo que estamos emitindo tem valor nominal de R$ 419,56 com 120 dias. Vamos calcular o valor presente desse título:
Passo 7
Como a substituição deve manter o equilíbrio financeiro, os valores presentes devem ser iguais:
Passo 8
Vamos resolver essa equação para encontrar a taxa de desconto $ i $:
Primeiro, multiplicamos todos os termos por 12 para eliminar os denominadores:
Agora, vamos juntar os termos com $ i $ de um lado e os constantes do outro:
Por fim, isolamos $ i $:
Resposta
A taxa de desconto da operação é de aproximadamente 24%.