Suco de laranja escoa através de um tubo de 30 mm de diâmetro a uma taxa de 0,3 \mathrm{Kg} / \mathrm{s}. O suco entra no tubo a uma temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C}, enquanto a temperatura da superfície do tubo é mantida a 100^{\circ} \mathrm{C}. Calcule o coeficiente convectivo médio do suco de laranja, determine a temperatura de saída do suco e calcule a taxa de calor transferido para um tubo de \mathbf{1 5 m}.
Propriedades do suco de laranja a uma temperatura média de 15^{\circ} \mathrm{C} :
\mathbf{c p}=\mathbf{3 , 8 7 7 ~ k J} / \mathbf{k g} \cdot \mathbf{K} ; \mathbf{v}=\mathbf{1 , 9 2} \times \mathbf{1 0}^{-6} \mathbf{m}^{\mathbf{2}} / \mathbf{s} ; \mathbf{k}=\mathbf{5 5 6} \cdot \mathbf{1 0}^{-\mathbf{3}} \mathbf{W} / \mathbf{m} \cdot \mathbf{K} ; \boldsymbol{\mu}=\mathbf{2} \times \mathbf{1 0}^{-\mathbf{3}} \mathbf{N} \cdot \mathbf{s} / \mathbf{m}^{\mathbf{2}} ;
\rho=1.040 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \operatorname{Pr}=14

Passo 1

Resumindo o enunciado: suco de laranja flui em regime forçado dentro de um tubo de diâmetro interno D=30\;\mathrm{mm} com vazão mássica \dot m=0,3\;\mathrm{kg/s}. A temperatura de entrada é T_{\rm in}=25\,^\circ\mathrm{C} e a parede do tubo é mantida em T_{\rm w}=100\,^\circ\mathrm{C}. Queremos:
  1. o coeficiente convectivo médio h;
  2. a temperatura de saída T_{\rm out} ao final de um tubo de comprimento L=15\;\mathrm{m};
  3. a taxa de calor transferido Q nesse tubo.
Para isso usaremos:
  • correlação de Dittus–Boelter para escoamento interno turbulento;
  • balanço de energia unidimensional ao longo do tubo (ODE de convecção com parede a temperatura constante).
Propriedades médias do suco (em T_m\approx15\,^\circ\mathrm{C}):
\displaystyle c_p=3877\;\mathrm{J/(kg\,K)},\quad \rho=1040\;\mathrm{kg/m^3},\quad k=0,556\;\mathrm{W/(m\,K)},\quad \nu=1,92\times10^{-6}\;\mathrm{m^2/s},\quad \Pr=14.

Passo 2

Calcular a velocidade média, o número de Reynolds e aplicar Dittus–Boelter.
A área da seção interna vale
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi\,(0{,}03)^2}{4} \approx 7{,}07\times10^{-4}\;\mathrm{m^2}.
A velocidade média é
v_{\rm m} = \frac{\dot m}{\rho\,A} = \frac{0{,}3}{1040\cdot7{,}07\times10^{-4}} \approx 0{,}408\;\mathrm{m/s}.
O número de Reynolds fica
\Re = \frac{v_{\rm m}\,D}{\nu} = \frac{0{,}408\cdot0{,}03}{1{,}92\times10^{-6}} \approx 6{,}38\times10^{3},
indicando escoamento turbulento.
Para aquecimento interno (parede quente), a correlação de Dittus–Boelter é
\Nu = 0{,}023\,\Re^{0{,}8}\,\Pr^{0{,}4}.
Numericamente,
\Nu = 0{,}023\,(6{,}38\times10^{3})^{0{,}8}\,(14)^{0{,}4} \approx 73{,}1.
Logo,
h = \frac{\Nu\,k}{D} = \frac{73{,}1\cdot0{,}556}{0{,}03} \approx 1{,}36\times10^{3}\;\mathrm{W/(m^2\,K)}.

Passo 3

Determinar T_{\rm out} resolvendo o balanço de energia ao longo do tubo de comprimento L.
Para parede a temperatura constante, a equação integrada dá
T_{\rm out} = T_{\rm w} - \bigl(T_{\rm w}-T_{\rm in}\bigr)\, \exp\!\Bigl(-\frac{h\,P\,L}{\dot m\,c_p}\Bigr),
onde P=\pi D é o perímetro molhado. Aqui
P = \pi\cdot0{,}03 \approx 0{,}09425\;\mathrm{m},
e
\frac{h\,P\,L}{\dot m\,c_p} = \frac{1{,}36\times10^{3}\cdot0{,}09425\cdot15} {0{,}3\cdot3877} \approx 1{,}65.
Logo
T_{\rm out} = 100 - (100 - 25)\,\exp(-1{,}65) \approx 100 - 75\cdot0{,}193 \approx 85{,}5\,^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

A taxa de calor Q é obtida pelo balanço de energia global:
Q = \dot m\,c_p\,(T_{\rm out}-T_{\rm in}) = 0{,}3\cdot3877\,(85{,}5 - 25) \approx 7,04\times10^{4}\;\mathrm{W}.

Resposta

Coeficiente convectivo médio:
h \approx 1{,}36\times10^{3}\;\mathrm{W/(m^2\,K)}.
Temperatura de saída para L=15\;\mathrm{m}:
T_{\rm out} \approx 85{,}5\,^\circ\mathrm{C}.
Taxa de calor transferido:
Q \approx 7,04\times10^{4}\;\mathrm{W}.

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