A superfície de uma placa plana de 3 m de comprimento é mantida a 44^{\circ} \mathrm{C} e água a temperatura de 15^{\circ} \mathrm{C} e velocidade de 1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} escoa sobre a superfície.
a) Calcule a taxa de transferência de calor por unidade de largura da placa ( \mathbf{5} pts).
b) Se um arame fosse colocado próximo à borda de ataque para induzir turbulência sobre todo o comprimento total, qual seria a taxa de transferência de calor? ( 3 pts)
c) Em qual situação a troca de calor foi maior? Justifique. (2 pts)
Propriedades da água:
\operatorname{Pr}=5,83 ; \mathrm{k}=613.10^{-3} \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} ; \mu=855 \times 10^{-6} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~s} / \mathrm{m}^{2} ; ~ \mathrm{cp}=4.179 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K} ;
\rho=997,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}

Passo 1

O enunciado trata de convecção forçada de água sobre uma placa plana de comprimento L=3{,}0\\ \mathrm{m}, largura unitária e temperatura da superfície T_s=44\,^\circ\mathrm{C}. A água escoa a U=1{,}5\\ \mathrm{m/s} e temperatura ambiente T_\infty=15\,^\circ\mathrm{C}. Precisamos calcular a taxa de calor por unidade de largura
  • (a) no regime natural de transição (laminar até R\!e_x=5\times10^5 e depois turbulento),
  • (b) no caso de turbulência forçada desde a aresta de ataque.
    Para isso usamos as correlações locais de Nusselt
\text{laminar: }\;Nu_x=0,332\,Re_x^{1/2}Pr^{1/3}, \quad \text{turbulento: }\;Nu_x=0,0296\,Re_x^{4/5}Pr^{1/3},
e para escoamento totalmente turbulento sobre comprimento L:
Nu_L=0,037\,Re_L^{4/5}Pr^{1/3}.

Passo 2

Calculamos as propriedades eficazes e números adimensionais: \nu=\mu/\rho=855\times10^{-6}/997\approx8,58\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s},
Re_L=\frac{U\,L}{\nu} =\frac{1{,}5\times3{,}0}{8,58\times10^{-7}} \approx5{,}25\times10^6,
o número crítico Re_c=5\times10^5 define a posição de transição \displaystyle x_c=\frac{Re_c\,\nu}{U}\approx\frac{5\times10^5\times8,58\times10^{-7}}{1,5}\approx0{,}29\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Para calcular a taxa de calor por unidade de largura no regime misto integramos q'=\int_0^L h(x)\,(T_s-T_\infty)\,dx. O resultado padrão das integrais é
q' \;=\;k\,(T_s-T_\infty)\,\Bigl[\,2\cdot0{,}332\,Pr^{1/3}Re_c^{1/2} \;+\;\tfrac{5}{4}\cdot0{,}0296\,Pr^{1/3}\bigl(Re_L^{4/5}-Re_c^{4/5}\bigr)\Bigr].

Passo 4

Inserindo valores numéricos: \Delta T=T_s-T_\infty=44-15=29\\ \mathrm{K}, Pr^{1/3}=5{,}83^{1/3}\approx1{,}80, Re_c^{1/2}=(5\times10^5)^{1/2}\approx707{,}1, Re_L^{4/5}=(5{,}25\times10^6)^{4/5}\approx2{,}37\times10^5, (Re_c)^{4/5}=(5\times10^5)^{4/5}\approx3{,}62\times10^4, k=0{,}613\\ \mathrm{W/mK}.
Calculamos o colchete:
2\cdot0{,}332\cdot1{,}80\cdot707{,}1 \;+\;1{,}25\cdot0{,}0296\cdot1{,}80\cdot(2{,}37\times10^5-3{,}62\times10^4) \approx8,45\times10^2+1,34\times10^4 =1,42\times10^4.
Logo
q'_{\text{mist0}} =0{,}613\times29\times1{,}42\times10^4 \approx2,53\times10^5\\ \mathrm{W/m}.

Passo 5

Para turbulência total usamos
Nu_L=0,037\,Re_L^{4/5}Pr^{1/3} \quad\Rightarrow\quad q'_{\text{turb}} = k\,(T_s-T_\infty)\,Nu_L
Nu_L=0{,}037\cdot2,37\times10^5\cdot1,80\approx1,58\times10^4 \;\Rightarrow\; q'_{\text{turb}} =0{,}613\times29\times1,58\times10^4 \approx2,81\times10^5\\ \mathrm{W/m}.

Passo 6

Comparando as duas situações, q'_{\text{turb}}\approx2{,}81\times10^5 W/m é maior que q'_{\text{mist0}}\approx2{,}53\times10^5 W/m, pois a convecção turbulenta aumenta significativamente o coeficiente de transferência de calor.

Resposta

(a) q'\approx2{,}53\times10^5\\ \mathrm{W/m}.
(b) q'\approx2{,}81\times10^5\\ \mathrm{W/m}.
(c) A transferência de calor é maior na situação totalmente turbulenta, já que o regime turbulento gera coeficientes de convecção mais elevados.

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