Sugira uma forma de medir
o raio da Terra

Passo 1

O problema pede que a gente sugira um método prático para determinar o raio da Terra. O conteúdo-chave é geometria de círculos e triângulos e física de sombras (sol no zênite). Vamos usar a ideia de medir o ângulo de incidência do Sol em dois pontos separados por uma distância conhecida e relacionar isso à fracção do círculo terrestre.

Passo 2

Escolha dois locais A e B aproximadamente alinhados no sentido norte–sul, de modo que a distância ao longo da superfície, L, seja conhecida com boa precisão. Você pode medir L em estrada ou via GPS, ou usar a diferença de latitude em um mapa:
L = RmapatimesDe<aphimapa,
sendo De<aphimapa a diferença de latitude em radianos e Rmapa o raio aproximado usado no mapa (apenas para validar a ordem de grandeza).

Passo 3

No mesmo dia, exatamente ao meio-dia solar local em A, coloque uma haste vertical de altura h e meça o comprimento da sombra sA. A inclinação do Sol em A em relação à vertical é
alphaA = arctan!l(tfracsAhr)
Repita em B ao meio-dia solar local de B (que ocorre um pouco antes ou depois dependendo da longitude, mas para efeito de Eratóstenes podemos aproximar o mesmo dia e usar correção de fuso horário se necessário), medindo h e sB para obter
alphaB = arctan!l(tfracsBhr)

Passo 4

A diferença De<aalpha = l|alphaB - alphaAr| corresponde aproximadamente ao ângulo central De<atheta subtendido pelos pontos A e B no centro da Terra. Em radianos, temos
De<atheta = De<aalpha
Geometricamente, o arco de comprimento L satisfaz
L = R,De<atheta

Passo 5

Isolando o raio R, obtemos
R = LDe<atheta = LDe<aalpha
Basta então substituir a distância L e o ângulo De<aalpha (em radianos) para calcular R.

Passo 6

Para melhorar a precisão:
– Use locais mais distantes para aumentar L e, assim, reduzir o erro relativo em De<aalpha.
– Faça várias medições em dias próximos e use a média de De<aalpha.
– Corrija a diferença de longitude para ajustar o meio-dia solar exato em cada ponto.

Resposta

Uma forma clássica é medir as sombras de uma haste em dois pontos A e B separados norte–sul por uma distância L. Ao meio-dia solar em cada ponto, calcula-se os ângulos alphaA e alphaB pelas sombras e obtém-se
De<aalpha = l|alphaB - alphaAr|,
que em radianos é igual ao ângulo central De<atheta. Então
R = LDe<atheta = LDe<aalpha

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