Q7. O Sulfato de cobre (CuSO4) é um sal solúvel em água, e uma importante fonte de íons cobre em laboratório. Um analista gostaria de criar uma curva de calibração para a substância, e a partir disso determinar qual sua absortividade molar pela Lei de Lambert-Beer e a equação da reta. Com isso, ele fez a leitura no seu espectrofotômetro, utilizando uma cubeta de
de largura, nas seguintes concentrações, obtendo valores de absorção máxima. Complete a tabela, determine equação da reta, os termos S , desenhe o gráfico de sinal x concentração com equação da reta, e calcule absortividade molar do sulfato de cobre usando a Lei de Lambert-Beer.
Concentração (mmol/L) / x
Absorbância máxima em
xy
0
0,03
0
0,0009
0
50
0,24
100
0,48
150
0,72
200
0,96
Soma
500
| Concentração (mmol/L) / x | Absorbância máxima em
|
|
|
xy | |
| 0 | 0,03 | 0 | 0,0009 | 0 | |
| 50 | 0,24 | ||||
| 100 | 0,48 | ||||
| 150 | 0,72 | ||||
| 200 | 0,96 | ||||
| Soma | 500 |
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá (vou listar exatamente o que temos para não nos perder):
-
Perguntas do enunciado:
- Completar a tabela com
, e . - Determinar a equação da reta (regressão linear
). - Determinar os termos
(vamos calcular , e , que são os termos usados em regressão). - Desenhar o gráfico sinal (absorbância) vs concentração com a equação da reta (dou os pontos e a reta para plotar).
- Calcular a absortividade molar do sulfato de cobre usando a Lei de Lambert-Beer.
- Completar a tabela com
-
Dados fornecidos:
- Largura da cubeta:
. - Concentrações (em
): . - Absorbâncias (em 780 nm):
.
- Largura da cubeta:
-
O que vamos precisar:
- Soma dos valores e soma dos quadrados para regressão.
- Fórmulas da regressão linear (mínimos quadrados).
- Lei de Lambert-Beer:
(vou explicar e usar).
Passo 2
Completar a tabela calculando
,
e
linha a linha (mostro o cálculo para cada termo):
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Agora as somas parciais (vou somar os valores calculados):
Passo 3
Explicando a regressão linear (mínimos quadrados) e as fórmulas que vamos usar:
- Queremos ajustar uma reta
que minimize os quadrados dos resíduos. - As fórmulas padrão para os coeficientes são:
onde é o número de pontos (aqui ).
Vou explicar cada termo:
-
e são somas dos valores observados. -
e são as somas dos quadrados de e dos produtos . - O numerador de
mede a covariância (escalada) entre e ; o denominador é a variância de (escalada).
Agora aplico as fórmulas com os números que calculei:
- Primeiro calculemos os termos:
Então o numerador de é O denominador: então - Logo a inclinação:
- Intercepto:
Calculo , então - Portanto a equação da reta ajustada (em termos das unidades originais:
em , absorbância) é:
Observação prática: a pequena interceptação
representa um desvio de zero (pode ser ruído instrumental ou leitura de branco); idealmente um “branco” perfeito daria
próximo de zero.
Passo 4
Cálculo dos termos
(usados para análise de variância e para o coeficiente de correlação):
-
Definições (com explicação):Esses
medem a variabilidade centrada (removendo a média). -
Cálculo numérico:
- Coeficiente de determinação
e correlação (o que medem): Substituindo:
Interpretação curta: a linearidade é extremamente boa (praticamente perfeita), o que confirma que os dados seguem bem uma relação linear.
Passo 5
Como desenhar o gráfico sinal (absorbância) vs concentração com a equação da reta — e pontos para traçar a reta:
- Dicas práticas para desenhar (se for à mão):
- Eixos:
horizontal de a ; vertical de a (absorbância). - Marcar os pontos experimentais
. - Traçar a reta de regressão usando dois pontos da reta ajustada — por exemplo:
- Em
: . - Em
: .
Assim a reta passa aproximadamente pore .
- Em
- Eixos:
- Se preferir plotar pontos ajustados (valores preditos) para comparar, os valores estimados pela reta são:
Esses estão muito próximos dos valores medidos, confirmando o ajuste.
Passo 6
Lei de Lambert-Beer e cálculo da absortividade molar
(aula prática):
- A Lei de Lambert-Beer diz:
onde: -
é a absorbância (adimensional), -
é a absortividade molar (em ), -
é o caminho óptico (largura da cubeta, em ), -
é a concentração em .
-
- No nosso ajuste,
está em . Se chamarmos a concentração em , então Substituindo em : Portanto a inclinação da reta que ajusta em função de (com em ) é Isolando : - Agora uso os valores numéricos:
Então - Interpretação curta: a absortividade molar calculada é
a (nas condições deste experimento).
Resposta
Tabela completa (cada linha:
em
,
absorbância,
,
,
):
Equação da reta (regressão por mínimos quadrados):
Termos
:
Coeficiente de determinação:
Pontos da reta para desenhar (ex.: para traçar a reta):
Absortividade molar pelo sistema (Lei de Lambert-Beer) a
: