Q3. Um ácido forte encontra-se completamente ionizado em água e por esta razão os valores de Ka nem são encontrados nos livros. Ácidos como o clorídrico (HCl), nítrico (HNO3), perclórico (HClO4), entre outros, se enquadram nesta
“família”. Assim, considere duas soluções de um ácido forte, uma de concentração analítica 2,0 \times 10-7 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} e outra de \mathrm{Ca}=2,0 \times 10^{-3} \mathrm{~mol} / \mathrm{L}. Determine o pH destas duas soluções, mostrando as considerações que necessitam ser feitas em cada caso para efetuar o cálculo. As considerações podem ser feitas?
(Dica: Quando erro percentual >6 \%, considerações não podem ser feitas).

Passo 1

O enunciado dá duas soluções de um ácido forte (com ionização completa) e pede o pH de cada uma, indicando que devo explicitar as considerações usadas (e verificar se a aproximação de desprezar a autodissociação da água é aceitável). Informações relevantes:
  • Concentrações analíticas fornecidas:
    • C_{a1} = 2{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{mol\!/L}.
    • C_{a2} = 2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\!/L}.
  • Suposição padrão: temperatura 25^\circ\mathrm{C}, portanto a constante de autoionização da água é K_w = 1{,}0\times10^{-14}.
  • Pedido: determinar o pH de cada solução e mostrar as considerações (se é válido aproximar [\mathrm{H}^+]\approx C_a ou não). Dica do enunciado: se o erro percentual da aproximação for >6\%, a aproximação NÃO é permitida.

Passo 2

Conceitos fundamentais (explicação didática, sem pular etapas).
  • Um ácido forte é completamente ionizado em água, então se não houvesse água, a contribuição de íons \mathrm{H}^+ do ácido seria exatamente C_a.
  • Mas a água se autodissocia segundo \mathrm{H_2O \rightleftharpoons H^+ + OH^-}e vale K_w = [\mathrm{H}^+][\mathrm{OH}^-] = 1{,}0\times10^{-14}.Em água pura [\mathrm{H}^+]=[\mathrm{OH}^-]=1{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{M}.
  • Em presença de ácido forte, temos dois tipos de fontes de \mathrm{H}^+: o ácido (que fornece C_a quando totalmente ionizado) e a própria água (que ajusta [\mathrm{H}^+] e [\mathrm{OH}^-] conforme K_w). A neutralidade elétrica implica, para soluções ácidas simples, [\mathrm{H}^+] = C_a + [\mathrm{OH}^-].Isto porque os cátions provenientes do ácido são C_a e os aniões são compensados, e os íons \mathrm{OH}^- provenientes da água também aparecem no balanço de cargas.
  • Substituindo [\mathrm{OH}^-] = K_w/[\mathrm{H}^+] obtemos a equação a resolver: [\mathrm{H}^+] = C_a + \frac{K_w}{[\mathrm{H}^+]},que leva à quadrática [\mathrm{H}^+]^2 - C_a[\mathrm{H}^+] - K_w = 0.
  • A solução física (positiva) da quadrática é [\mathrm{H}^+] = \frac{C_a + \sqrt{C_a^2 + 4K_w}}{2}.
  • Depois de obter [\mathrm{H}^+] calcula-se o pH por \mathrm{pH} = -\log_{10}\!\bigl([\mathrm{H}^+]\bigr).
  • A aproximação usual [\mathrm{H}^+]\approx C_a corresponde a desprezar K_w/[\mathrm{H}^+] (isto é, a contribuição da água). Essa aproximação é válida quando a diferença entre o valor exato de [\mathrm{H}^+] e C_a for pequena; aqui vamos medir o erro percentual em [\mathrm{H}^+] por \%\text{erro} = \frac{|[\mathrm{H}^+]_{\text{exato}} - C_a|}{[\mathrm{H}^+]_{\text{exato}}}\times100\%.Se \%\text{erro}>6\% a aproximação NÃO é permitida (segundo o enunciado).

Passo 3

Cálculo para a primeira solução C_{a1} = 2{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{M}.
  • Escrevo a fórmula exata obtida acima: [\mathrm{H}^+] = \frac{C_{a1} + \sqrt{C_{a1}^2 + 4K_w}}{2}.
  • Substituo C_{a1}=2{,}0\times10^{-7} e K_w=1{,}0\times10^{-14}: C_{a1}^2 = (2{,}0\times10^{-7})^2 = 4{,}0\times10^{-14},
4K_w = 4{,}0\times10^{-14},
C_{a1}^2 + 4K_w = 8{,}0\times10^{-14}.
  • Raiz: \sqrt{C_{a1}^2 + 4K_w} = \sqrt{8{,}0\times10^{-14}} = \sqrt{8}\times10^{-7} \approx 2{,}82842712\times10^{-7}.
  • Logo [\mathrm{H}^+] = \frac{2{,}0\times10^{-7} + 2{,}82842712\times10^{-7}}{2} = \frac{4{,}82842712\times10^{-7}}{2} = 2{,}41421356\times10^{-7}\\ \mathrm{M}.
  • Agora o pH: \mathrm{pH} = -\log_{10}\!\bigl(2{,}41421356\times10^{-7}\bigr).Calculo do logaritmo: \log_{10}(2{,}41421356)\approx0{,}382799, então \log_{10}\!\bigl(2{,}41421356\times10^{-7}\bigr) = 0{,}382799 - 7 = -6{,}617201,
\mathrm{pH} \approx 6{,}6172.

Passo 4

Verificação da aproximação [\mathrm{H}^+]\approx C_{a1} para C_{a1}=2{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{M}.
  • Aproximação daria [\mathrm{H}^+]_{\text{approx}} = C_{a1} = 2{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{M},
\mathrm{pH}_{\text{approx}} = -\log_{10}\!(2{,}0\times10^{-7}) \approx 6{,}69897.
  • Erro percentual em [\mathrm{H}^+]: \%\text{erro} = \frac{|2{,}41421356\times10^{-7} - 2{,}0\times10^{-7}|}{2{,}41421356\times10^{-7}}\times100\% = \frac{0{,}41421356\times10^{-7}}{2{,}41421356\times10^{-7}}\times100\% \approx 17{,}16\%.
  • Conclusão para a primeira solução: como \%\text{erro}\approx17{,}2\%>6\%, a aproximação [\mathrm{H}^+]\approx C_{a1} NÃO é aceitável. Portanto o pH correto é o calculado pela solução exata: \mathrm{pH}\approx6{,}617.

Passo 5

Cálculo para a segunda solução C_{a2} = 2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{M}.
  • Uso novamente a fórmula exata [\mathrm{H}^+] = \frac{C_{a2} + \sqrt{C_{a2}^2 + 4K_w}}{2}.
  • Calculo dos termos: C_{a2}^2 = (2{,}0\times10^{-3})^2 = 4{,}0\times10^{-6}, \qquad 4K_w = 4{,}0\times10^{-14}.Note que 4K_w é muito menor que C_{a2}^2: 4K_w/C_{a2}^2 = 10^{-8}.
  • Assim a raiz é aproximadamente \sqrt{C_{a2}^2 + 4K_w} \approx \sqrt{4{,}0\times10^{-6} + 4{,}0\times10^{-14}} \approx 2{,}00000000001\times10^{-3}.
  • Então [\mathrm{H}^+] \approx \frac{2{,}0\times10^{-3} + 2{,}00000000001\times10^{-3}}{2} \approx 2{,}000000000005\times10^{-3}\\ \mathrm{M}.
  • A aproximação simples dá [\mathrm{H}^+]_{\text{approx}} = C_{a2} = 2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{M},
\mathrm{pH}_{\text{approx}} = -\log_{10}\!(2{,}0\times10^{-3}) \approx 2{,}69897.
  • Erro percentual em [\mathrm{H}^+] ao usar a aproximação: \%\text{erro} \approx \frac{|2{,}000000000005\times10^{-3} - 2{,}0\times10^{-3}|}{2{,}000000000005\times10^{-3}}\times100\% \approx 2{,}5\times10^{-11}\%\ll6\%.
  • Conclusão para a segunda solução: a aproximação [\mathrm{H}^+]\approx C_{a2} é perfeitamente válida (erro insignificante). Portanto o pH pode ser tomado como \mathrm{pH}\approx2{,}699.

Passo 6

Resumo das considerações (tomando o papel de colega animador):
  • Para concentrações de ácido fortes muito próximas de 10^{-7}\\ \mathrm{M}, a contribuição da água não pode ser desprezada: é preciso resolver a quadrática e usar a expressão exata para [\mathrm{H}^+]. No caso C_a=2{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{M} a aproximação falha (erro \approx17\%).
  • Para concentrações muito maiores que 10^{-7}\\ \mathrm{M} (por exemplo 2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{M}), a contribuição da água é desprezível e pode-se usar [\mathrm{H}^+]\approx C_a com segurança (erro \ll6\%).

Resposta

pH da solução com C_a=2{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{M}: 6{,}617
pH da solução com C_a=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{M}: 2{,}699

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