Se \sum a_{n}^{2} e \sum b_{n}^{2} convergem, prove que \sum a_{n} b_{n} converge absolutamente.
48) Se \sum a_{n} é convergente e a_{n} \geq 0, \forall n \in \mathbb{N}, então a série \sum a_{n} x^{n} é absolutamente convergente para todo x \in[-1,1] e \sum a_{n} \operatorname{sen}(n x), \sum a_{n} \cos (n x) são absolutamente convergentes para todo x \in \mathbb{R}.
49) Suponha que 0<a<b<1. Mostre que a série a+b+a^{2}+b^{2}+a^{3}+b^{3}+\cdots é convergente usando os seguintes critérios:
Passo 1
Resumo dos três itens e matéria necessária. Temos de provar:
Se \sum a_n^2 e \sum b_n^2 convergem, então \sum a_n b_n converge absolutamente. Aqui usaremos a desigualdade de Cauchy–Schwarz para séries.
Se \sum a_n converge com a_n\ge0, então para todo x\in[-1,1] a série \sum a_n x^n converge absolutamente, e para todo x\in\mathbb R as séries \sum a_n\sin(nx) e \sum a_n\cos(nx) convergem absolutamente. Basta usar comparação direta porque |x^n|\le1 em [-1,1] e |\sin(nx)|\le1, |\cos(nx)|\le1.
Para 0<a<b<1, mostrar que a série
a + b + a^2 + b^2 + a^3 + b^3 + \cdots
converge. Podemos reagrupar os termos em soma de séries geométricas ou aplicar teste da razão.