Se \sum a_{n}^{2} e \sum b_{n}^{2} convergem, prove que \sum a_{n} b_{n} converge absolutamente.
48) Se \sum a_{n} é convergente e a_{n} \geq 0, \forall n \in \mathbb{N}, então a série \sum a_{n} x^{n} é absolutamente convergente para todo x \in[-1,1] e \sum a_{n} \operatorname{sen}(n x), \sum a_{n} \cos (n x) são absolutamente convergentes para todo x \in \mathbb{R}.
49) Suponha que 0<a<b<1. Mostre que a série a+b+a^{2}+b^{2}+a^{3}+b^{3}+\cdots é convergente usando os seguintes critérios:

Passo 1

Resumo dos três itens e matéria necessária. Temos de provar:
  1. Se \sum a_n^2 e \sum b_n^2 convergem, então \sum a_n b_n converge absolutamente. Aqui usaremos a desigualdade de Cauchy–Schwarz para séries.
  2. Se \sum a_n converge com a_n\ge0, então para todo x\in[-1,1] a série \sum a_n x^n converge absolutamente, e para todo x\in\mathbb R as séries \sum a_n\sin(nx) e \sum a_n\cos(nx) convergem absolutamente. Basta usar comparação direta porque |x^n|\le1 em [-1,1] e |\sin(nx)|\le1, |\cos(nx)|\le1.
  3. Para 0<a<b<1, mostrar que a série
a + b + a^2 + b^2 + a^3 + b^3 + \cdots
converge. Podemos reagrupar os termos em soma de séries geométricas ou aplicar teste da razão.

Passo 2

Prova do item 1. Seja
S_N \;=\;\sum_{n=1}^N \bigl|a_n b_n\bigr|.
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz, para todo N:
\sum_{n=1}^N |a_n b_n| \;\le\; \sqrt{\sum_{n=1}^N a_n^2}\,\sqrt{\sum_{n=1}^N b_n^2} \;\le\; \sqrt{\sum_{n=1}^\infty a_n^2}\,\sqrt{\sum_{n=1}^\infty b_n^2} \,=\,M<\infty.
Logo a sequência \{S_N\} é monótona crescente e limitada por M, portanto converge. Isso mostra que \sum a_n b_n converge absolutamente.

Passo 3

Prova do item 2. Como \sum a_n converge com a_n\ge0, temos para qualquer x\in[-1,1]:
\sum_{n=1}^\infty \bigl|a_n x^n\bigr| \;=\; \sum_{n=1}^\infty a_n\,|x|^n \;\le\; \sum_{n=1}^\infty a_n \;<\;\infty.
Analogamente, para todo x\in\mathbb R:
\sum_{n=1}^\infty |a_n\sin(nx)| \;\le\; \sum_{n=1}^\infty a_n, \qquad \sum_{n=1}^\infty |a_n\cos(nx)| \;\le\; \sum_{n=1}^\infty a_n,
pois |\sin(nx)|\le1 e |\cos(nx)|\le1. Conclui-se que todas essas séries convergem absolutamente.

Passo 4

Prova do item 3. Reagrupando pares de termos, escrevemos a série como
(a + b) + (a^2 + b^2) + (a^3 + b^3) + \cdots.
Para cada k\ge1,
a^k + b^k \;=\; b^k\Bigl(\tfrac{a^k}{b^k}+1\Bigr) \;=\; b^k\bigl((a/b)^k + 1\bigr).
Como 0<a/b<1, a série \sum (a/b)^k é geométrica convergente. Logo
\sum_{k=1}^\infty (a^k + b^k) \;=\; \sum_{k=1}^\infty b^k\bigl((a/b)^k+1\bigr) \;=\; \sum_{k=1}^\infty b^k\,(a/b)^k \;+\; \sum_{k=1}^\infty b^k
é soma de duas séries geométricas com razões a e b, ambas <1. Portanto convergentes.

Resposta

  1. Pelo Cauchy–Schwarz, \sum a_n b_n converge absolutamente.
  2. Para |x|\le1, \sum a_n|x|^n\le\sum a_n<\infty; para todo x, \sum|a_n\sin(nx)|\le\sum a_n<\infty e idem para o cosseno.
  3. Reagrupando em séries geométricas de razão a<1 e b<1, a soma a+b+a^2+b^2+\cdots converge.

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