1. Seja f uma função tal que |f(x)| \leq x^{4}, \forall x. Prove que f é derivável em x=0.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função f com \lvert f(x)\rvert \le x^4 para todo x, e pede para mostrar que f é derivável em x=0. Para isso, vamos usar a definição de derivada em zero
f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}
e o Teorema do Confronto para limites.

Passo 2

Como \lvert f(0)\rvert \le 0^4 = 0, concluímos que
f(0) = 0.

Passo 3

Para x\neq0, o quociente de diferença fica
\frac{f(x)-f(0)}{x} = \frac{f(x)}{x}.

Passo 4

Usando \lvert f(x)\rvert \le \lvert x^4\rvert, obtemos
\left\lvert \frac{f(x)}{x}\right\rvert \le \frac{\lvert x^4\rvert}{\lvert x\rvert} = \lvert x^3\rvert.

Passo 5

Como \lvert x^3\rvert \to 0 quando x\to0, pelo Teorema do Confronto deduzimos que
\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=0,
portanto a derivada f'(0) existe e vale 0.

Resposta

f é derivável em x=0 e f'(0)=0.

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