Seja f uma função tal que |f(x)| \leq x^{4}, \forall x. Prove que f é derivável em x=0.
Passo 1
O enunciado nos dá uma função f com \lvert f(x)\rvert \le x^4 para todo x, e pede para mostrar que f é derivável em x=0. Para isso, vamos usar a definição de derivada em zero
f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}
e o Teorema do Confronto para limites.
Passo 2
Como \lvert f(0)\rvert \le 0^4 = 0, concluímos que