(valor: 1,5) Seja f(x, y, z, w) uma função diferenciável e x=2 t+s, \underset{\partial f}{y}=\tan (\sqrt{s}), z=\ln \left(\arctan \left(s^{3}\right)\right) e w=t \ln (s). Formule a regra da cadeia para calcular \frac{\partial f}{\partial t} em termos das derivadas parciais de f.

Passo 1

O enunciado pede para escrever, via regra da cadeia, a derivada parcial \frac{\partial f}{\partial t} de uma função diferenciável f(x,y,z,w) quando
x = 2t + s,\quad y = \tan\bigl(\sqrt{s}\bigr),\quad z = \ln\bigl(\arctan(s^3)\bigr),\quad w = t\ln(s).
O conteúdo usado será a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Pela regra da cadeia temos
\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial z}\,\frac{\partial z}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial w}\,\frac{\partial w}{\partial t}.

Passo 3

Agora vamos calcular cada derivada de x,y,z,w em relação a t:
\frac{\partial x}{\partial t} = 2, \qquad \frac{\partial y}{\partial t} = 0, \qquad \frac{\partial z}{\partial t} = 0, \qquad \frac{\partial w}{\partial t} = \ln(s).
As duas últimas são zero porque y e z não dependem de t.

Passo 4

Substituindo em \frac{\partial f}{\partial t} obtemos
\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x}\cdot 2 + \frac{\partial f}{\partial y}\cdot 0 + \frac{\partial f}{\partial z}\cdot 0 + \frac{\partial f}{\partial w}\cdot \ln(s),
ou seja
\frac{\partial f}{\partial t} = 2\,\frac{\partial f}{\partial x} + \ln(s)\,\frac{\partial f}{\partial w}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial t} = 2\,f_x + \ln(s)\,f_w.

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