Resolva a equação y^{\prime}=\frac{y-x}{y+x}, considerando x>0.
$\footnotetext{
{ }^{5} Dica: divida o numerador e o denominador por x, e faça mudança de variáveis v=\frac{y}{x}.
{ }^{6} Dica: \int \frac{1}{1+t^{2}} d t=\arctan (t).’

Passo 1

O enunciado pede: resolver a equação diferencial
y'=\frac{y-x}{y+x},
considerando x>0. Informações/dados importantes fornecidos:
  • A equação é dada em termos de y' (derivada de y em relação a x).
  • O enunciado sugere dividir numerador e denominador por x e usar a mudança de variável v=\dfrac{y}{x}.
  • A dica também recorda que \displaystyle \int \frac{1}{1+t^{2}}\,dt=\arctan(t).
    A tarefa é encontrar a solução geral y(x) (ou uma solução implícita) usando essas informações.

Passo 2

Fazemos a mudança sugerida: defina
v=\frac{y}{x}.
Isso implica y=vx. Agora precisamos da derivada y' em função de v e x. Usando a regra do produto para derivar y=vx em relação a x,
y'=\frac{d}{dx}(v x)=v + x\frac{dv}{dx}.
Explicação rápida: pense em v como uma função de x; derivar vx v\cdot 1 + x\cdot v'.

Passo 3

Reescrevemos o lado direito da equação original em termos de v. Dividindo numerador e denominador por x (e lembrando y/x=v) obtemos
\frac{y-x}{y+x}=\frac{v-1}{v+1}.
Agora substituímos y' e essa expressão na equação diferencial:
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{v-1}{v+1}.

Passo 4

Isolamos \dfrac{dv}{dx}. Subtraindo v dos dois lados:
x\frac{dv}{dx}=\frac{v-1}{v+1}-v.
Vamos unir as frações no lado direito:
\frac{v-1}{v+1}-v=\frac{v-1 - v(v+1)}{v+1}=\frac{v-1 - v^2 - v}{v+1}=\frac{-v^2-1}{v+1}=-\frac{v^2+1}{v+1}.
Portanto
x\frac{dv}{dx}=-\frac{v^2+1}{v+1},
ou seja
\frac{dv}{dx}=-\frac{v^2+1}{x(v+1)}.

Passo 5

Agora separamos variáveis para integrar. Colocamos todos os termos em v de um lado e os termos em x do outro:
\frac{v+1}{v^2+1}\,dv=-\frac{dx}{x}.
Explicação: multiplicamos ambos os lados por \dfrac{v+1}{v^2+1}\,dx para obter essa forma, que nos permite integrar cada lado independentemente.

Passo 6

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo separemos a fração:
\frac{v+1}{v^2+1}=\frac{v}{v^2+1}+\frac{1}{v^2+1}.
Logo
\int\left(\frac{v}{v^2+1}+\frac{1}{v^2+1}\right)\,dv=\int -\frac{dx}{x}.
Calculamos as integrais uma a uma:
  • Para \displaystyle \int \frac{v}{v^2+1}\,dv use u=v^2+1, então du=2v\,dv, logo a integral vale \dfrac{1}{2}\ln(v^2+1).
  • Para \displaystyle \int \frac{1}{v^2+1}\,dv usamos a dica: é \arctan(v).
  • A integral do lado direito é \displaystyle -\ln x + C (constante de integração).
    Assim obtemos a relação
\frac{1}{2}\ln(v^2+1)+\arctan(v)=-\ln x + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 7

Reescrevemos essa expressão de forma conveniente somando \ln x a ambos os lados:
\frac{1}{2}\ln(v^2+1)+\arctan(v)+\ln x = C.
Agora substituímos v=\dfrac{y}{x} para voltar às variáveis originais. Não faremos mais simplificações neste passo (a simplificação final será apresentada na seção de resposta).

Resposta

\dfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)+\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)=C

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