Resolva a equação
, considerando
.
$\footnotetext{
Dica: divida o numerador e o denominador por
, e faça mudança de variáveis
.
Dica:
.’
Passo 1
O enunciado pede: resolver a equação diferencial
considerando
. Informações/dados importantes fornecidos:
- A equação é dada em termos de
(derivada de em relação a ). - O enunciado sugere dividir numerador e denominador por
e usar a mudança de variável . - A dica também recorda que
.
A tarefa é encontrar a solução geral(ou uma solução implícita) usando essas informações.
Passo 2
Fazemos a mudança sugerida: defina
Isso implica
. Agora precisamos da derivada
em função de
e
. Usando a regra do produto para derivar
em relação a
,
Explicação rápida: pense em
como uma função de
; derivar
dá
.
Passo 3
Reescrevemos o lado direito da equação original em termos de
. Dividindo numerador e denominador por
(e lembrando
) obtemos
Agora substituímos
e essa expressão na equação diferencial:
Passo 4
Isolamos
. Subtraindo
dos dois lados:
Vamos unir as frações no lado direito:
Portanto
ou seja
Passo 5
Agora separamos variáveis para integrar. Colocamos todos os termos em
de um lado e os termos em
do outro:
Explicação: multiplicamos ambos os lados por
para obter essa forma, que nos permite integrar cada lado independentemente.
Passo 6
Integramos ambos os lados. No lado esquerdo separemos a fração:
Logo
Calculamos as integrais uma a uma:
- Para
use , então , logo a integral vale . - Para
usamos a dica: é . - A integral do lado direito é
(constante de integração).
Assim obtemos a relação
onde
é constante arbitrária.
Passo 7
Reescrevemos essa expressão de forma conveniente somando
a ambos os lados:
Agora substituímos
para voltar às variáveis originais. Não faremos mais simplificações neste passo (a simplificação final será apresentada na seção de resposta).