1. \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{\sqrt[k]{\ln k}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\displaystyle \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{\sqrt[k]{\ln k}}.
O conteúdo principal aqui é o teste da divergência (ou teste da condição necessária): se os termos gerais não tendem a zero, a série não pode convergir.

Passo 2

Defina a_k = \frac{(-1)^{k}}{\sqrt[k]{\ln k}}. Primeiro note que
\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{\ln k} =\exp\!\Bigl(\lim_{k\to\infty}\frac{\ln(\ln k)}{k}\Bigr) =\exp(0) =1.
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\displaystyle \lim_{k\to\infty}a_k =\lim_{k\to\infty}\frac{(-1)^{k}}{\sqrt[k]{\ln k}} =\lim_{k\to\infty}(-1)^{k}\cdot1,
que não existe como zero (oscila entre +1 e -1). Portanto a condição necessária para convergência falha.

Resposta

A série diverge.

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