1. \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^{k}\left(k^{3 / 2}+3 k\right)}{7-k^{2}+2 k^{5 / 2}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^{k}\bigl(k^{3/2}+3k\bigr)}{7 - k^{2} + 2\,k^{5/2}}.
O conteúdo aqui envolve testes de convergência de séries, em particular comparação assintótica e convergência absoluta.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento de a_k=\frac{(-1)^k\,(k^{3/2}+3k)}{7 - k^{2} + 2\,k^{5/2}} para k\to\infty.
Para grandes k:
k^{3/2}+3k \sim 3k, \qquad 7 - k^{2} + 2\,k^{5/2} \sim 2\,k^{5/2}.
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|a_k|\sim \frac{3k}{2\,k^{5/2}} = \frac{3}{2}\,k^{-3/2}.

Passo 3

Considere a p-série \sum_{k=2}^\infty k^{-3/2}. Como o expoente 3/2>1, essa p-série converge. Aplique o teste da comparação limite:
\lim_{k\to\infty}\frac{|a_k|}{k^{-3/2}} =\lim_{k\to\infty}\frac{\frac{k^{3/2}+3k}{\bigl|7 - k^{2} + 2\,k^{5/2}\bigr|}}{k^{-3/2}} =\frac{3}{2}\quad\bigl(0<\tfrac32<\infty\bigr).
Portanto \sum |a_k| converge, isto é, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente e, consequentemente, converge.

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