[1] Considere o subconjunto
de
a seguir:
(a) [2.0 pontos]
é subespaço de
, com relação à soma e multiplicação por escalar usuais de
?
(b) [1.0 ponto] Determine uma base de
. Qual a dimensão de
?
(c) [1.0 ponto] Considere o subespaço de
dado por
Obtenha
.
(b) [1.0 ponto] Determine uma base de
(c) [1.0 ponto] Considere o subespaço de
Passo 1
O enunciado define
e pergunta:
(a) se é subespaço de
;
(b) uma base de e sua dimensão;
(c) o conjunto , onde
(a) se
(b) uma base de
(c) o conjunto
Para resolver vamos usar conceitos de núcleo de forma linear, parametrização de solução de equações lineares e interseção de subespaços.
Passo 2
Para mostrar que
é subespaço de
note que a aplicação
é linear. Então
e o núcleo de uma transformação linear é sempre subespaço. Alternativamente, verifica-se diretamente que
, que se
então
e se
então
. Logo
é fechado sob soma e múltiplo escalar.
Passo 3
Para encontrar uma base de
, resolvemos
Escolhemos como variáveis livres
. Então
Daí
Como são três vetores linearmente independentes, uma base de
é
e
.
Passo 4
Parametrizamos
por
então vetores em
têm forma
Para estar em
também deve satisfazer
. Substituindo em
:
Logo em
temos
e
livre, dando
Resposta
(a)
é subespaço de
, pois é o núcleo de uma aplicação linear.
(b) Uma base de é
e
.
(c) .
(b) Uma base de
(c) .