[1] Considere o subconjunto U de \mathbb{R}^{4} a seguir:
U=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4}: y-2 z+t=0\right\}
(a) [2.0 pontos] U é subespaço de \mathbb{R}^{4}, com relação à soma e multiplicação por escalar usuais de \mathbb{R}^{4} ?
(b) [1.0 ponto] Determine uma base de U. Qual a dimensão de U ?
(c) [1.0 ponto] Considere o subespaço de \mathbb{R}^{4} dado por
W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4}: x=t, y=2 z\right\}
Obtenha U \cap W.

Passo 1

O enunciado define
U=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4: y-2z+t=0\}
e pergunta:
(a) se U é subespaço de \mathbb{R}^4;
(b) uma base de U e sua dimensão;
(c) o conjunto U\cap W, onde
W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4: x=t,\;y=2z\}.
Para resolver vamos usar conceitos de núcleo de forma linear, parametrização de solução de equações lineares e interseção de subespaços.

Passo 2

Para mostrar que U é subespaço de \mathbb{R}^4 note que a aplicação
f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R},\quad f(x,y,z,t)=y-2z+t
é linear. Então
U=\ker(f)=\{v\in\mathbb{R}^4:f(v)=0\},
e o núcleo de uma transformação linear é sempre subespaço. Alternativamente, verifica-se diretamente que (0,0,0,0)\in U, que se u,v\in U então f(u+v)=f(u)+f(v)=0 e se \lambda\in\mathbb{R} então f(\lambda u)=\lambda f(u)=0. Logo U é fechado sob soma e múltiplo escalar.

Passo 3

Para encontrar uma base de U, resolvemos
y-2z+t=0\quad\Longrightarrow\quad y=2z-t.
Escolhemos como variáveis livres x,s=z,r=t. Então
(x,y,z,t)=(x,2s-r,s,r) =x\,(1,0,0,0)+s\,(0,2,1,0)+r\,(0,-1,0,1).
Daí
U=\Span\{(1,0,0,0),\,(0,2,1,0),\,(0,-1,0,1)\}.
Como são três vetores linearmente independentes, uma base de U é
\{(1,0,0,0),\,(0,2,1,0),\,(0,-1,0,1)\},
e \dim(U)=3.

Passo 4

Parametrizamos W por
x=t,\quad y=2z,
então vetores em W têm forma
(z,t)\mapsto (t,2z,z,t) =z\,(0,2,1,0)+t\,(1,0,0,1).
Para estar em U\cap W também deve satisfazer y-2z+t=0. Substituindo em W:
y-2z+t=2z-2z+t=t=0.
Logo em U\cap W temos t=0 e z livre, dando
U\cap W =\{(0,2z,z,0):z\in\mathbb{R}\} =\Span\{(0,2,1,0)\}.

Resposta

(a) U é subespaço de \mathbb{R}^4, pois é o núcleo de uma aplicação linear.
(b) Uma base de U é \{(1,0,0,0),\,(0,2,1,0),\,(0,-1,0,1)\} e \dim(U)=3.
(c) U\cap W=\Span\{(0,2,1,0)\}.

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