\sum_{k=1}^{\infty} k\left(\frac{2}{3}\right)^{k}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
O conteúdo aqui é soma de séries de potências, e vamos usar a fórmula da série geométrica e um truque com derivada para obter a soma com o fator
.
Passo 2
Começamos lembrando a série geométrica elementar, válida para
:
Passo 3
Para incluir o fator
, diferenciamos essa soma em relação a
:
diferenciando membro a membro
diferenciando membro a membro
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Passo 4
Basta agora substituir
: