\sum_{k=1}^{\infty} k\left(\frac{2}{3}\right)^{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
\sum_{k=1}^{\infty} k\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{k}.
O conteúdo aqui é soma de séries de potências, e vamos usar a fórmula da série geométrica e um truque com derivada para obter a soma com o fator k.

Passo 2

Começamos lembrando a série geométrica elementar, válida para |x|<1:
\sum_{k=1}^{\infty} x^{k} \;=\;\frac{x}{1-x}.

Passo 3

Para incluir o fator k, diferenciamos essa soma em relação a x:
diferenciando membro a membro
\sum_{k=1}^{\infty} k\,x^{k-1} =\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x}{1-x}\Bigr) =\frac{1}{(1-x)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por x obtemos
\sum_{k=1}^{\infty} k\,x^{k} =\frac{x}{(1-x)^{2}}.

Passo 4

Basta agora substituir x=\tfrac{2}{3}:
\sum_{k=1}^{\infty} k\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{k} =\frac{\tfrac{2}{3}}{\bigl(1-\tfrac{2}{3}\bigr)^{2}} =\frac{\tfrac{2}{3}}{\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{2}} =\frac{2/3}{1/9} =6.

Resposta

6

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