\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen} 4 n}{4^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(4n)}{4^{n}}.
Este é um problema de soma de série usando representação complexa e soma de progressão geométrica.

Passo 2

Usamos a identidade \sin(4n)=\Im\bigl(e^{i4n}\bigr).
Logo
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(4n)}{4^{n}} =\Im\Biggl(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{i4n}}{4^{n}}\Biggr).

Passo 3

Reconhecemos que a soma interior é uma série geométrica com razão z=\dfrac{e^{i4}}{4}. Para |z|<1,
\sum_{n=1}^{\infty}z^{n} =\frac{z}{1-z}.
Substituindo z=e^{i4}/4, fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{i4n}}{4^{n}} =\frac{\tfrac{e^{i4}}{4}}{1-\tfrac{e^{i4}}{4}} =\frac{e^{i4}}{4 - e^{i4}}.
Portanto nossa série é
\Im\!\Bigl(\tfrac{e^{i4}}{4 - e^{i4}}\Bigr).

Passo 4

Para extrair a parte imaginária, escrevemos
\frac{e^{i4}}{4 - e^{i4}} =\frac{e^{i4}}{4 - e^{i4}}\cdot\frac{4 - e^{-i4}}{4 - e^{-i4}} =\frac{4e^{i4}-1}{\,16 -4\bigl(e^{i4}+e^{-i4}\bigr)+1\,} =\frac{4e^{i4}-1}{17 -8\cos 4}.
A parte imaginária do numerador é \Im(4e^{i4}-1)=4\sin 4. Logo
\Im\!\Bigl(\tfrac{e^{i4}}{4 - e^{i4}}\Bigr) =\frac{4\sin 4}{17 -8\cos 4}.

Resposta

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(4n)}{4^{n}} =\frac{4\sin 4}{17 -8\cos 4}.

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