\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen} 4 n}{4^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a série infinita
Este é um problema de soma de série usando representação complexa e soma de progressão geométrica.
Passo 2
Usamos a identidade
.
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Passo 3
Reconhecemos que a soma interior é uma série geométrica com razão
. Para
,
Substituindo
, fica
Portanto nossa série é
Passo 4
Para extrair a parte imaginária, escrevemos
A parte imaginária do numerador é
. Logo