Passo 1
O enunciado pede o valor da soma da série infinita
Informações dadas:
- A soma é sobre
de até infinito. - O termo geral é
.
O que precisamos encontrar: o valor numérico dessa soma infinita.
Passo 2
Ideia geral que vamos usar (sem pular etapas): usar a série geométrica padrão e derivá‑la termo a termo para obter uma fórmula para
. Depois basta escolher
.
Primeiro recapitular a soma da série geométrica finita. Para
e inteiro
, a soma dos primeiros
termos é
Passo 3
Derivar a fórmula fechada da soma geométrica finita. Multiplique ambos os lados por
:
No lado direito, ao multiplicar, todos os termos internos cancelam em telescópio, sobrando
Logo
Passo 4
Passar ao limite quando
. Se
, então
quando
. Portanto, para
,
Isso é a série geométrica clássica; ela converge absolutamente para
.
Passo 5
Agora vamos obter a soma ponderada por
. Tome a igualdade finita do Passo 3,
e derive ambos os lados em relação a
. A derivada do lado esquerdo, termo a termo, é
porque a derivada de
é
e o termo
some. No lado direito, derivando a função fechada, aplicam‑se regras básicas de derivação (quociente ou derivada direta do numerador/denominador); fazendo a conta resulta em
Não precisamos escrever a expressão intermediária complicada porque vamos tomar o limite
em seguida, mas fica claro que a derivada existe para
.
Passo 6
Passando ao limite
: como a série geométrica converge absolutamente para
, pode‑se derivar termo a termo e passar o limite. Assim obtemos, para
,
Calcule a derivada do lado direito:
Portanto
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por
(válido para
) obtemos a fórmula que precisamos:
Esta é uma identidade útil: para qualquer
com
, a soma dos termos
é
.
Passo 8
Agora aplicamos a fórmula ao caso concreto. No problema temos
. Substituindo em
obtemos
Passo 9
Calcule a expressão numérica. Primeiro
. Então
Dividir por
é o mesmo que multiplicar por
, então
Passo 10
Verificação rápida por somas parciais (conforto mental): os primeiros termos são
A soma parcial até
dá
. As parcelas seguintes adicionam quantias menores e a soma tende a
, coerente com o resultado acima.