\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede o valor da soma da série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}}.
Informações dadas:
  • A soma é sobre n de 1 até infinito.
  • O termo geral é \dfrac{n}{2^{n}}.
    O que precisamos encontrar: o valor numérico dessa soma infinita.

Passo 2

Ideia geral que vamos usar (sem pular etapas): usar a série geométrica padrão e derivá‑la termo a termo para obter uma fórmula para \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}. Depois basta escolher x=\tfrac{1}{2}.
Primeiro recapitular a soma da série geométrica finita. Para x\neq 1 e inteiro N\ge 0, a soma dos primeiros N+1 termos é
\sum_{n=0}^{N} x^{n} = 1 + x + x^{2} + \cdots + x^{N}.

Passo 3

Derivar a fórmula fechada da soma geométrica finita. Multiplique ambos os lados por (1-x):
(1-x)\sum_{n=0}^{N} x^{n} = (1-x)(1+x+x^{2}+\cdots+x^{N}).
No lado direito, ao multiplicar, todos os termos internos cancelam em telescópio, sobrando
(1-x)\sum_{n=0}^{N} x^{n} = 1 - x^{N+1}.
Logo
\sum_{n=0}^{N} x^{n} = \frac{1-x^{N+1}}{1-x}.

Passo 4

Passar ao limite quando N\to\infty. Se |x|<1, então x^{N+1}\to 0 quando N\to\infty. Portanto, para |x|<1,
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1-x}.
Isso é a série geométrica clássica; ela converge absolutamente para |x|<1.

Passo 5

Agora vamos obter a soma ponderada por n. Tome a igualdade finita do Passo 3,
\sum_{n=0}^{N} x^{n} = \frac{1-x^{N+1}}{1-x},
e derive ambos os lados em relação a x. A derivada do lado esquerdo, termo a termo, é
\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{N} x^{n}\right) = \sum_{n=1}^{N} n x^{n-1},
porque a derivada de x^{n} é n x^{n-1} e o termo n=0 some. No lado direito, derivando a função fechada, aplicam‑se regras básicas de derivação (quociente ou derivada direta do numerador/denominador); fazendo a conta resulta em
\frac{d}{dx}\left(\frac{1-x^{N+1}}{1-x}\right).
Não precisamos escrever a expressão intermediária complicada porque vamos tomar o limite N\to\infty em seguida, mas fica claro que a derivada existe para |x|<1.

Passo 6

Passando ao limite N\to\infty: como a série geométrica converge absolutamente para |x|<1, pode‑se derivar termo a termo e passar o limite. Assim obtemos, para |x|<1,
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right).
Calcule a derivada do lado direito:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{1}{(1-x)^{2}}.
Portanto
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^{2}}.

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por x (válido para |x|<1) obtemos a fórmula que precisamos:
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^{2}}.
Esta é uma identidade útil: para qualquer x com |x|<1, a soma dos termos n x^{n} é \dfrac{x}{(1-x)^{2}}.

Passo 8

Agora aplicamos a fórmula ao caso concreto. No problema temos x=\tfrac{1}{2}. Substituindo em
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^{2}},
obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} = \frac{\tfrac{1}{2}}{\left(1-\tfrac{1}{2}\right)^{2}}.

Passo 9

Calcule a expressão numérica. Primeiro 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}. Então
\frac{\tfrac{1}{2}}{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}} = \frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{4}}.
Dividir por \tfrac{1}{4} é o mesmo que multiplicar por 4, então
\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{4}} = \tfrac{1}{2}\cdot 4 = 2.

Passo 10

Verificação rápida por somas parciais (conforto mental): os primeiros termos são
\frac{1}{2},\\ \frac{2}{4}=\frac{1}{2},\\ \frac{3}{8}=0,375,\\ \frac{4}{16}=0,25,\\ \ldots
A soma parcial até n=4 0,5+0,5+0,375+0,25=1,625. As parcelas seguintes adicionam quantias menores e a soma tende a 2, coerente com o resultado acima.

Resposta

2

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