Passo 1
O enunciado nos dá a série
As perguntas que vou responder:
- A série converge ou diverge?
- Se converge, posso estimar o valor da soma (aproximação numérica com controle de erro)?
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O termo geral é
. - Não há informação extra (por exemplo, valor da soma), então vou investigar convergência e, em seguida, aproximar a soma por somas parciais e estimar o resto.
Passo 2
Estratégia escolhida (por que): vou usar o Teste da Razão (teste de d’Alembert). É um método padrão e eficiente quando aparecem fatoriais e potências, porque ao formar a razão
muitos fatores se simplificam e fica fácil ver o comportamento assintótico.
Lembrete sobre o Teste da Razão:
- Para uma série com termos positivos
, calcule
- Se
a série converge absolutamente; se diverge; se o teste é inconclusivo.
Passo 3
Calcular a razão entre termos consecutivos. Primeiro escrevo
e
:
Agora a razão:
Reescrevendo de forma útil:
Passo 4
Avaliar o limite da razão quando
. Primeiro note que
Usando o fato padrão
, com
obtemos
Como também
, o produto tende a
Portanto o limite
, que é
. Pelo Teste da Razão, a série converge absolutamente.
Comentário intuitivo: além do decaimento exponencial
vindo do comportamento de
comparado com
, há ainda um fator adicional
na expressão original, o que faz os termos irem a zero muito rápido — por isso a soma converge e rapidamente.
Passo 5
Agora vou aproximar numericamente a soma por somas parciais e controlar o erro (muito útil na prova: provar convergência e dar uma boa aproximação da soma).
Calculo alguns termos iniciais exatamente (ou em forma decimal exata quando simples):
Somando até
:
Passo 6
Estimativa do resto
. Uma forma simples e rigorosa é usar que, a partir da expressão da razão,
pois
. Então, para todo
,
Isso mostra que os termos decrescem pelo menos geometricamente com razão
, o que permite um estimador simples do resto. Tomando
, tem-se para o resto
Calculando
:
Logo
Portanto a soma total
satisfaz
ou seja
Isso já dá uma aproximação com erro menor que
.
Se acrescentarmos
e
explicitamente obtemos uma aproximação ainda melhor; por exemplo com
e
a soma parcial até
é aproximadamente
e os termos seguintes são
, portanto esta é uma aproximação confiável com erro
.
Passo 7
Interpretação final e incentivo: a série converge absolutamente e muito rápido, então na prova basta aplicar o Teste da Razão (mostrar que o limite da razão é
) para concluir convergência. Se for pedido um valor numérico, somas parciais curtas (até
ou
) já dão uma aproximação excelente com erro controlado.
Resposta
A série converge absolutamente.
A soma aproximada é (erro menor que
, e com
obtém-se precisão muito maior).
A soma aproximada é