\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+2}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a série infinita
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+2}\right)^{n}
e pede decidir se essa série converge ou diverge. Informação importante fornecida (explícita na própria expressão):
  • O termo geral da série é a_n=\left(\dfrac{n}{n+2}\right)^{n}.
  • Cada a_n é positivo para todo n\ge1.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral de forma mais manejável. Começo simplificando a fração dentro da potência:
\frac{n}{n+2}=\frac{1}{1+\tfrac{2}{n}}.
Portanto
a_n=\left(\frac{n}{n+2}\right)^{n}=\left(1+\frac{2}{n}\right)^{-n}.
É útil também escrever a_n usando exponencial e logaritmo:
a_n=\exp\big(-n\ln\big(1+\tfrac{2}{n}\big)\big).

Passo 3

Regra essencial (mini-aula): um teste necessário para convergência de uma série \sum a_n é que os termos a_n tendam a zero:
\text{Se }\sum a_n\text{ converge, então }\lim_{n\to\infty} a_n=0.ã
Explicação curta do porquê: os somatórios parciais S_N=\sum_{n=1}^N a_n só podem se aproximar de um número finito se os incrementos a_n=S_n-S_{n-1} vão a zero; se \lim a_n\neq0 então os incrementos não desaparecem e os somatórios não se estabilizam.
Logo, antes de qualquer teste mais sofisticado, basta calcular \lim_{n\to\infty} a_n. Se esse limite for diferente de 0, a série diverge imediatamente.

Passo 4

Calculemos \lim_{n\to\infty} a_n. Trabalhar com o logaritmo é mais direto:
\ln a_n = -n\ln\!\left(1+\tfrac{2}{n}\right).
Reescrevendo como razão conveniente,
\ln a_n = -\frac{\ln\!\left(1+\tfrac{2}{n}\right)}{\tfrac{1}{n}}.
Agora passe ao limite. Seja t=\tfrac{1}{n}, então t\to0^+ quando n\to\infty, e a expressão acima fica
\lim_{n\to\infty}\ln a_n = -\lim_{t\to0^+}\frac{\ln(1+2t)}{t}.
Essa é uma forma indeterminada \tfrac{0}{0}, então podemos aplicar a regra de l’Hôpital: derivando numerador e denominador em relação a t obtemos
\lim_{t\to0^+}\frac{\ln(1+2t)}{t}=\lim_{t\to0^+}\frac{\tfrac{2}{1+2t}}{1}=\frac{2}{1+0}=2.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\ln a_n = -2.
Voltando de \ln a_n para a_n,
\lim_{n\to\infty} a_n = e^{-2}.
Observação prática: isso também pode ser visto por uma identidade conhecida \lim_{n\to\infty}\big(1+\tfrac{x}{n}\big)^{n}=e^{x}; aqui com x=2 obtemos \big(1+\tfrac{2}{n}\big)^{n}\to e^{2}, logo a_n=\big(1+\tfrac{2}{n}\big)^{-n}\to e^{-2}.

Passo 5

Interpretação do resultado: temos
\lim_{n\to\infty} a_n=e^{-2}\approx0{,}1353\neq0.
Pelo teste necessário citado no Passo 3, se os termos da série não tendem a zero, a série \sum a_n não pode convergir. Portanto a série diverge. (Em palavras: os termos da soma não ficam pequenos o bastante; somando infinitos termos de ordem aproximadamente 0{,}135 não se obtém um número finito.)

Resposta

A série diverge.

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