Passo 1
O enunciado dá a série infinita
e pede decidir se essa série converge ou diverge. Informação importante fornecida (explícita na própria expressão):
- O termo geral da série é
. - Cada
é positivo para todo .
Passo 2
Vamos reescrever o termo geral de forma mais manejável. Começo simplificando a fração dentro da potência:
Portanto
É útil também escrever
usando exponencial e logaritmo:
Passo 3
Regra essencial (mini-aula): um teste necessário para convergência de uma série
é que os termos
tendam a zero:
Explicação curta do porquê: os somatórios parciais
só podem se aproximar de um número finito se os incrementos
vão a zero; se
então os incrementos não desaparecem e os somatórios não se estabilizam.
Logo, antes de qualquer teste mais sofisticado, basta calcular
. Se esse limite for diferente de
, a série diverge imediatamente.
Passo 4
Calculemos
. Trabalhar com o logaritmo é mais direto:
Reescrevendo como razão conveniente,
Agora passe ao limite. Seja
, então
quando
, e a expressão acima fica
Essa é uma forma indeterminada
, então podemos aplicar a regra de l’Hôpital: derivando numerador e denominador em relação a
obtemos
Portanto
Voltando de
para
,
Observação prática: isso também pode ser visto por uma identidade conhecida
; aqui com
obtemos
, logo
.
Passo 5
Interpretação do resultado: temos
Pelo teste necessário citado no Passo 3, se os termos da série não tendem a zero, a série
não pode convergir. Portanto a série diverge. (Em palavras: os termos da soma não ficam pequenos o bastante; somando infinitos termos de ordem aproximadamente
não se obtém um número finito.)
Resposta
A série diverge.