Passo 1
O enunciado dá a série
e pede decidir se essa série converge ou diverge. Informação importante que já podemos notar: todos os termos são positivos, ou seja
para todo
.
Passo 2
Uma ferramenta natural quando aparece uma potência com expoente
é o Teste da Raiz (root test). Vou explicar esse teste com calma.
O Teste da Raiz diz: para uma sequência de termos
considere
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aqui
significa exatamente
. Esse teste é muito útil quando os termos já vêm elevados a
, porque a raiz
-ésima “cancela” o expoente.
Passo 3
Aplicando o teste da raiz aos nossos termos
temos
Agora calculamos o limite quando
. Para isso dividimos numerador e denominador por
:
Portanto o
do teste da raiz é
.
Passo 4
Como obtivemos
pelo Teste da Raiz a série converge absolutamente. Como os termos são positivos, convergência absoluta coincide com convergência usual, então a série converge.
Passo 5
Para intuição extra (útil na prova): note que para todo
portanto, como a função
é crescente em
,
A série geométrica
converge (razão
), então por comparação direta a série original também converge. Isso reforça o resultado do Teste da Raiz.
Resposta
A série converge absolutamente.