\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2 n}{3 n+1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2 n}{3 n+1}\right)^{n}
e pede decidir se essa série converge ou diverge. Informação importante que já podemos notar: todos os termos são positivos, ou seja \left(\dfrac{2n}{3n+1}\right)^n>0 para todo n.

Passo 2

Uma ferramenta natural quando aparece uma potência com expoente n é o Teste da Raiz (root test). Vou explicar esse teste com calma.
O Teste da Raiz diz: para uma sequência de termos a_n considere
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
  • Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui \sqrt[n]{|a_n|} significa exatamente |a_n|^{1/n}. Esse teste é muito útil quando os termos já vêm elevados a n, porque a raiz n-ésima “cancela” o expoente.

Passo 3

Aplicando o teste da raiz aos nossos termos a_n=\left(\dfrac{2n}{3n+1}\right)^n temos
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\left(\frac{2n}{3n+1}\right)^n}=\frac{2n}{3n+1}.
Agora calculamos o limite quando n\to\infty. Para isso dividimos numerador e denominador por n:
\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{3n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{3+\tfrac{1}{n}}=\frac{2}{3}.
Portanto o L do teste da raiz é \dfrac{2}{3}.

Passo 4

Como obtivemos
L=\frac{2}{3}<1,
pelo Teste da Raiz a série converge absolutamente. Como os termos são positivos, convergência absoluta coincide com convergência usual, então a série converge.

Passo 5

Para intuição extra (útil na prova): note que para todo n
\frac{2n}{3n+1}<\frac{2n}{3n}= \frac{2}{3},
portanto, como a função x\mapsto x^n é crescente em [0,1],
\left(\frac{2n}{3n+1}\right)^n<\left(\frac{2}{3}\right)^n.
A série geométrica \sum_{n=1}^\infty\left(\dfrac{2}{3}\right)^n converge (razão \dfrac{2}{3}<1), então por comparação direta a série original também converge. Isso reforça o resultado do Teste da Raiz.

Resposta

A série converge absolutamente.

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