\sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1} \frac{n}{n^{2}+4}
Passo 1
O enunciado nos apresenta a série
e pede para analisar sua convergência usando o Teste de Leibniz (série alternante) e verificar se ela converge absolutamente ou apenas condicionalmente.
Passo 2
Mostramos que o termo geral tende a zero:
Passo 3
Verificamos que
é (eventualmente) monótono decrescente para
grande. Considere a função contínua
então
Vê-se que
sempre que
. Logo, para todo
,
Os primeiros termos podem ser checados à parte, mas basta que para
grande a sequência seja decrescente.
Passo 4
Pelo Teste de Leibniz (termo geral positivo, decrescente a partir de um certo
e tendendo a zero), concluímos que
converge.
Passo 5
Agora testamos a convergência absoluta, isto é, a soma de
Como para
grande
e sabemos que
diverge, pelo Teste da Comparação Limite a série
também diverge. Então a série original não converge absolutamente.
Passo 6
Juntando tudo: a série alternante converge (Teste de Leibniz) mas não converge absolutamente. Portanto ela converge condicionalmente.
Resposta
A série converge condicionalmente.