\sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1} \frac{n}{n^{2}+4}

Passo 1

O enunciado nos apresenta a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{n^{2}+4}
e pede para analisar sua convergência usando o Teste de Leibniz (série alternante) e verificar se ela converge absolutamente ou apenas condicionalmente.

Passo 2

Mostramos que o termo geral tende a zero:
a_{n} = \frac{n}{n^{2}+4} \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^{2}+4} =0.

Passo 3

Verificamos que a_{n} é (eventualmente) monótono decrescente para n grande. Considere a função contínua
f(x)=\frac{x}{x^{2}+4},
então
f'(x) =\frac{(x^{2}+4)\cdot1 - x\cdot2x}{(x^{2}+4)^{2}} =\frac{4 - x^{2}}{(x^{2}+4)^{2}}.
Vê-se que f'(x)<0 sempre que x>2. Logo, para todo n\ge3,
a_{n}=f(n) \quad\text{é decrescente}.é
Os primeiros termos podem ser checados à parte, mas basta que para n grande a sequência seja decrescente.

Passo 4

Pelo Teste de Leibniz (termo geral positivo, decrescente a partir de um certo N e tendendo a zero), concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{n^{2}+4}
converge.

Passo 5

Agora testamos a convergência absoluta, isto é, a soma de
|(-1)^{n-1}\tfrac{n}{n^{2}+4}| = \frac{n}{n^{2}+4}.
Como para n grande
\frac{n}{n^{2}+4}\sim\frac{1}{n},
e sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
diverge, pelo Teste da Comparação Limite a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+4}
também diverge. Então a série original não converge absolutamente.

Passo 6

Juntando tudo: a série alternante converge (Teste de Leibniz) mas não converge absolutamente. Portanto ela converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

Exercícios relacionados