1. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-n)^{n}}{5^{2 n+3}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-n)^{n}}{5^{2n+3}}.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, em particular vamos usar o critério da raiz (root test), que indica convergência se
L = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1,
e divergência se L>1.

Passo 2

Vamos isolar a parte que cresce com n. Escrevendo o termo geral a_n:
a_n = \frac{(-n)^n}{5^{2n+3}} =\frac{(-1)^n\,n^n}{5^{2n}\,5^3} =\frac{1}{125}\,(-1)^n\;\frac{n^n}{25^n} =\frac{1}{125}\,(-1)^n\Bigl(\frac{n}{25}\Bigr)^{\!n}.

Passo 3

Aplicando o critério da raiz, calculamos
\sqrt[n]{|a_n|} =\sqrt[n]{\frac{1}{125}\,\Bigl(\frac{n}{25}\Bigr)^{\!n}} =\frac{1}{\sqrt[n]{125}}\;\frac{n}{25} =\frac{n}{25\,\sqrt[n]{125}}.
Como \sqrt[n]{125}\to1 quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{25}=+\infty>1.

Passo 4

Pelo critério da raiz, se \limsup\sqrt[n]{|a_n|}>1 então a série diverge. Aqui obtivemos infinito, portanto a série não converge.

Resposta

A série diverge.

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