QUESTÃO 4 (2,5 pts.) - Se C é descrito por z(t)=\sqrt{2} e^{i t}, 0 \leq t \leq 2 \pi, calcule considerando o sentido antihorário (positivo):
\oint_{C}|z-2||d z|

Passo 1

O enunciado pede a linha de integral
\oint_{C}|z-2|\,|dz|
ao longo da curva C dada por
z(t)=\sqrt{2}e^{it},\quad 0\le t\le2\pi,
no sentido antihorário.
O conteúdo aqui é parametrização de linha em \Bbb C com integranda |z-2| e elemento de comprimento |dz|.

Passo 2

Parametrizamos tudo em função de t. Temos
z(t)=\sqrt{2}e^{it} \quad\Longrightarrow\quad z'(t)=i\sqrt{2}e^{it} \quad\Longrightarrow\quad |dz|=|z'(t)|\,dt=\sqrt{2}\,dt.

Passo 3

Também
|z(t)-2| =\bigl|\sqrt{2}e^{it}-2\bigr| =\sqrt{\,(\sqrt2)^2+2^2-2\cdot\sqrt2\cdot2\cos t\,} =\sqrt{6-4\sqrt2\cos t}\,.
Logo a integral fica
\oint_{C}|z-2|\,|dz| =\int_{0}^{2\pi}\sqrt{6-4\sqrt2\cos t}\;\sqrt{2}\,dt =\int_{0}^{2\pi}2\sqrt{3-2\sqrt2\cos t}\;dt.

Passo 4

Portanto chegamos à forma
\oint_{C}|z-2|\,|dz| =2\int_{0}^{2\pi}\sqrt{3-2\sqrt2\cos t}\;dt.
Essa integral não se reduz a funções elementares, mas pode ser expressa em termos da integral elíptica completa do segundo tipo ou avaliada numericamente.

Passo 5

Se quisermos um valor numérico, por exemplo usando método de Simpson ou software, obtém‐se
2\int_{0}^{2\pi}\sqrt{3-2\sqrt2\cos t}\;dt\approx20,43.

Resposta

\oint_{C}|z-2|\,|dz| =2\int_{0}^{2\pi}\sqrt{3-2\sqrt2\cos t}\;dt \approx20,43.

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