Teste a série quanto a convergência ou divergência.
4. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}.
O conteúdo envolve duas ideias principais: o Critério de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta (série de p-série).

Passo 2

Critério de Leibniz (alternância, decrescimento e termo ao zero):
– É alternada porque aparece o fator (-1)^{n-1}.
– Definimos a_{n}=\tfrac{1}{n^{2}}. Note que a_{n}>0,
\;a_{n+1}=\tfrac{1}{(n+1)^{2}}<\tfrac{1}{n^{2}}=a_{n}, ou seja, (a_{n}) é decrescente.
– Além disso,
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}} =0.
Pelo Critério de Leibniz, a série converge.

Passo 3

Teste de convergência absoluta:
Analisamos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.
Esta é uma p-série com p=2>1, logo converge (convergência de p-série).

Passo 4

Como a série converge quando tomamos os módulos dos termos (converge absolutamente), ela converge de fato.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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