Teste a série quanto a convergência ou divergência.
4. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}.
O conteúdo envolve duas ideias principais: o Critério de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta (série de p-série).
Passo 2
Critério de Leibniz (alternância, decrescimento e termo ao zero):
– É alternada porque aparece o fator (-1)^{n-1}.
– Definimos a_{n}=\tfrac{1}{n^{2}}. Note que a_{n}>0, \;a_{n+1}=\tfrac{1}{(n+1)^{2}}<\tfrac{1}{n^{2}}=a_{n}, ou seja, (a_{n}) é decrescente.
– Além disso,