QUESTÃO 4 (2,5 pts.) - Se C é descrito por z(t)=\sqrt{2} e^{i t}, 0 \leq t \leq 2 \pi, calcule considerando o sentido antihorário (positivo):
\oint_{C} z^{-2} d z

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \oint_{C} z^{-2}\,dz, onde C é o círculo de raio \sqrt{2} centrado em zero e percorrido no sentido antihorário. O conteúdo aqui é integração de funções de variável complexa por parametrização de contorno.

Passo 2

Parametrizamos C por
z(t)=\sqrt{2}\,e^{it},\quad 0\le t\le 2\pi,
de modo que
dz = i\sqrt{2}\,e^{it}\,dt.
Além disso,
z^{-2} = \bigl(\sqrt{2}\,e^{it}\bigr)^{-2} = \tfrac12\,e^{-2it}.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
z^{-2}\,dz = \tfrac12\,e^{-2it}\,\bigl(i\sqrt{2}\,e^{it}\bigr)\,dt = \frac{i\sqrt{2}}{2}\,e^{-it}\,dt = \frac{i}{\sqrt{2}}\,e^{-it}\,dt.

Passo 4

Agora integramos em t:
\oint_{C}z^{-2}\,dz = \int_{0}^{2\pi}\frac{i}{\sqrt{2}}\,e^{-it}\,dt = \frac{i}{\sqrt{2}}\left[\frac{e^{-it}}{-i}\right]_{0}^{2\pi} = \frac{i}{\sqrt{2}}\bigl(-\tfrac1{i}\bigr)\bigl(e^{-2\pi i}-1\bigr) =0.

Resposta

0

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