{ }^{a}
Questão.
(3,0 \mathrm{pts})
Calcule as integrais indefinidas.
\int e^{\operatorname{sen}(x)} \operatorname{sen}(x) \cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int e^{\sin(x)}\sin(x)\cos(x)\,dx.
Estamos trabalhando com técnicas de integração: aqui vale a substituição simples seguida de integração por partes.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sin(x), \quad du = \cos(x)\,dx.
Assim a integral original vira
\int e^{\sin(x)}\sin(x)\cos(x)\,dx = \int e^{u}\,u\,du.

Passo 3

Para calcular \int u e^{u}\,du usamos integração por partes. Tomamos
A = u,\quad dB = e^{u}\,du
então
dA = du,\quad B = e^{u}.
Pelo fórmula de partes,
\int u e^{u}\,du = u\,e^{u} - \int e^{u}\,du = u\,e^{u} - e^{u} + C.

Passo 4

Voltando à variável x, em que u=\sin(x), obtemos
u\,e^{u} - e^{u} + C = e^{\sin(x)}\bigl(\sin(x)-1\bigr) + C.

Resposta

\int e^{\sin(x)}\sin(x)\cos(x)\,dx = e^{\sin(x)}\bigl(\sin(x)-1\bigr) + C.

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