Encontre as funções
e
e seus domínios.
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre as quatro composições
,
,
e
e os respectivos domínios, dadas as funções
As perguntas são, explicitamente:
- Qual é a expressão algébrica de
e qual é o seu domínio? - Qual é a expressão algébrica de
e qual é o seu domínio? - Qual é a expressão algébrica de
e qual é o seu domínio? - Qual é a expressão algébrica de
e qual é o seu domínio?
Passo 2
Regra geral e ideia didática sobre composição e domínios.
- Definição de composição:
. Ou seja, primeiro aplica-se em e depois aplica-se ao resultado . - Regra para domínio de
: um número pertence ao domínio de se, e somente se, -
pertence ao domínio de (ou seja, está bem definido), e -
pertence ao domínio de (ou seja, pode ser aplicada a ).
-
- Para funções racionais como aqui, domínio significa excluir valores que tornam algum denominador igual a zero. Ao resolver condições como
ou , use a propriedade: uma fração acontece quando e . Para uma desigualdade , traga para um único lado e ponha sobre denominador (atenção a possíveis zeros do denominador — excluí-los antes de multiplicar).
Agora aplico isso passo a passo em cada composição.
Passo 3
Cálculo de
.
- Fórmula:
- Simplificação da fração (inverter o divisor):
Aqui executei a operação: . - Domínio: aplicar a regra da Passo 2.
- Primeiro,
está definido se o denominador de não é zero, ou seja , então . - Segundo,
aceita entrada sempre que o argumento não for zero; precisamos ter . Resolver : logo (e não é , então é válido para excluir).
Assim os pontos proibidos são(origem do indefinido de ) e (faz e aí teria divisão por zero).
- Primeiro,
- Conclusão:
Passo 4
Cálculo de
.
- Fórmula:
- Simplificação: coloque sobre o mesmo denominador
: Reescrevendo de forma habitual: (multipliquei numerador e denominador por — isso é permitido desde que ; a restrição aparece no domínio). - Domínio: primeiro
deve pertencer ao domínio de , que é (pois ). Depois, deve aceitar como entrada, isto é, o denominador de não deve ser zero quando substituímos : Para essa fração ser zero seria (desde que ). Logo excluímos . Já excluímos porque não está definido aí. Portanto:
Passo 5
Cálculo de
.
- Fórmula:
- Simplificação:
Assim, simbolicamente é a função identidade (no conjunto onde faz sentido). - Domínio: precisamos apenas garantir que
esteja no domínio de (para calcular ) e que pertença ao domínio de . Mas só falha em ser entrada inválida de se . Perguntamos: existe tal que ? Não existe solução real para . Logo a única restrição é a original . Portanto:
Passo 6
Cálculo de
.
- Fórmula:
- Simplificação do numerador e denominador (colocar sobre o mesmo denominador
):
Dividindo as duas frações:
- Domínio: primeiro
existe se , então . Em seguida, exige que o valor pertença ao domínio de , ou seja, não pode tornar o denominador de igual a zero. Precisamos excluir tais que Resolver essa equação (lembrando de excluir antes de multiplicar):
Assim devemos excluir
também. Note que
, então as duas exclusões são distintas.
- Conclusão: