Encontre as funções f \circ g, g \circ f, f \circ f e g \circ g e seus domínios.
c) f(x)=\frac{1}{x}, \quad g(x)=\frac{x+1}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre as quatro composições f\circ g, g\circ f, f\circ f e g\circ g e os respectivos domínios, dadas as funções
f(x)=\frac{1}{x},\qquad g(x)=\frac{x+1}{x+2}.
As perguntas são, explicitamente:
  • Qual é a expressão algébrica de (f\circ g)(x) e qual é o seu domínio?
  • Qual é a expressão algébrica de (g\circ f)(x) e qual é o seu domínio?
  • Qual é a expressão algébrica de (f\circ f)(x) e qual é o seu domínio?
  • Qual é a expressão algébrica de (g\circ g)(x) e qual é o seu domínio?

Passo 2

Regra geral e ideia didática sobre composição e domínios.
  • Definição de composição: (f\circ g)(x)=f(g(x)). Ou seja, primeiro aplica-se g em x e depois aplica-se f ao resultado g(x).
  • Regra para domínio de f\circ g: um número x pertence ao domínio de f\circ g se, e somente se,
    1. x pertence ao domínio de g (ou seja, g(x) está bem definido), e
    2. g(x) pertence ao domínio de f (ou seja, f pode ser aplicada a g(x)).
  • Para funções racionais como aqui, domínio significa excluir valores que tornam algum denominador igual a zero. Ao resolver condições como g(x)=0 ou g(x)=-2, use a propriedade: uma fração \dfrac{A}{B}=0 acontece quando A=0 e B\neq0. Para uma desigualdade \dfrac{A}{B}\neq C, traga para um único lado e ponha sobre denominador (atenção a possíveis zeros do denominador — excluí-los antes de multiplicar).
Agora aplico isso passo a passo em cada composição.

Passo 3

Cálculo de f\circ g.
  • Fórmula: (f\circ g)(x)=f(g(x))=\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{\dfrac{x+1}{x+2}}.
  • Simplificação da fração (inverter o divisor): (f\circ g)(x)=\frac{x+2}{x+1}.Aqui executei a operação: \dfrac{1}{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{b}{a}.
  • Domínio: aplicar a regra da Passo 2.
    1. Primeiro, g(x) está definido se o denominador de g não é zero, ou seja x+2\neq0, então x\neq -2.
    2. Segundo, f aceita entrada sempre que o argumento não for zero; precisamos ter g(x)\neq0. Resolver g(x)=0: \frac{x+1}{x+2}=0 \iff x+1=0\quad(\text{com }x+2\neq0),logo x=-1 (e x=-1 não é -2, então é válido para excluir).
      Assim os pontos proibidos são x=-2 (origem do indefinido de g) e x=-1 (faz g(x)=0 e aí f(g(x)) teria divisão por zero).
  • Conclusão: (f\circ g)(x)=\frac{x+2}{x+1},\qquad \text{Dom }(f\circ g)=\mathbb{R}\setminus\{-2,-1\}.

Passo 4

Cálculo de g\circ f.
  • Fórmula: (g\circ f)(x)=g(f(x))=g\!\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\dfrac{1}{x}+1}{\dfrac{1}{x}+2}.
  • Simplificação: coloque sobre o mesmo denominador \,x: \frac{\dfrac{1}{x}+1}{\dfrac{1}{x}+2}=\frac{\dfrac{1+x}{x}}{\dfrac{1+2x}{x}}=\frac{1+x}{1+2x}.Reescrevendo de forma habitual: (g\circ f)(x)=\frac{x+1}{2x+1}.(multipliquei numerador e denominador por x — isso é permitido desde que x\neq0; a restrição aparece no domínio).
  • Domínio: primeiro x deve pertencer ao domínio de f, que é x\neq0 (pois f(x)=1/x). Depois, g deve aceitar f(x)=1/x como entrada, isto é, o denominador de g não deve ser zero quando substituímos t=1/x: \frac{1}{x}+2\neq0 \iff \frac{1+2x}{x}\neq0.Para essa fração ser zero seria 1+2x=0 (desde que x\neq0). Logo excluímos x=-\tfrac{1}{2}. Já excluímos x=0 porque f não está definido aí. Portanto: \text{Dom }(g\circ f)=\mathbb{R}\setminus\left\{0,-\tfrac{1}{2}\right\}.

Passo 5

Cálculo de f\circ f.
  • Fórmula: (f\circ f)(x)=f(f(x))=f\!\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{\dfrac{1}{x}}.
  • Simplificação: \frac{1}{\dfrac{1}{x}}=x.Assim, simbolicamente f\circ f é a função identidade x (no conjunto onde faz sentido).
  • Domínio: precisamos apenas garantir que x esteja no domínio de f (para calcular f(x)) e que f(x)=1/x pertença ao domínio de f. Mas f(x) só falha em ser entrada inválida de f se f(x)=0. Perguntamos: existe x tal que 1/x=0? Não existe solução real para 1/x=0. Logo a única restrição é a original x\neq0. Portanto: (f\circ f)(x)=x,\qquad \text{Dom }(f\circ f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 6

Cálculo de g\circ g.
  • Fórmula: (g\circ g)(x)=g(g(x))=g\!\left(\frac{x+1}{x+2}\right) =\frac{\dfrac{x+1}{x+2}+1}{\dfrac{x+1}{x+2}+2}.
  • Simplificação do numerador e denominador (colocar sobre o mesmo denominador x+2): \dfrac{x+1}{x+2}+1=\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+2}=\dfrac{(x+1)+(x+2)}{x+2}=\dfrac{2x+3}{x+2},
\dfrac{x+1}{x+2}+2=\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{2(x+2)}{x+2}=\dfrac{(x+1)+2(x+2)}{x+2}=\dfrac{3x+5}{x+2}.
Dividindo as duas frações:
(g\circ g)(x)=\frac{\dfrac{2x+3}{x+2}}{\dfrac{3x+5}{x+2}}=\frac{2x+3}{3x+5}.
  • Domínio: primeiro g(x) existe se x+2\neq0, então x\neq -2. Em seguida, g(g(x)) exige que o valor g(x) pertença ao domínio de g, ou seja, não pode tornar o denominador de g igual a zero. Precisamos excluir x tais que g(x)=-2 \iff \frac{x+1}{x+2}=-2.Resolver essa equação (lembrando de excluir x=-2 antes de multiplicar): \frac{x+1}{x+2}=-2 \iff x+1=-2(x+2)\quad(\text{multiplicando ambos os lados por }x+2,\\ x\neq-2)
x+1=-2x-4 \iff 3x=-5 \iff x=-\frac{5}{3}.
Assim devemos excluir x=-\tfrac{5}{3} também. Note que x=-\tfrac{5}{3}\neq -2, então as duas exclusões são distintas.
  • Conclusão: (g\circ g)(x)=\frac{2x+3}{3x+5},\qquad \text{Dom }(g\circ g)=\mathbb{R}\setminus\left\{-2,-\tfrac{5}{3}\right\}.

Resposta

(f\circ g)(x)=\dfrac{x+2}{x+1},\quad Dom (f\circ g)=\mathbb{R}\setminus\{-2,-1\}
(g\circ f)(x)=\dfrac{x+1}{2x+1},\quad Dom (g\circ f)=\mathbb{R}\setminus\{0,-\tfrac{1}{2}\}
(f\circ f)(x)=x,\quad Dom (f\circ f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}
(g\circ g)(x)=\dfrac{2x+3}{3x+5},\quad Dom (g\circ g)=\mathbb{R}\setminus\left\{-2,-\tfrac{5}{3}\right\}

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