1. \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{5^{n}}+\frac{2}{n}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se analisar a série \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{5^{n}}+\frac{2}{n}\right): determinar se ela converge e, se convergisse, calcular a soma.
  • Informações dadas (já na forma do enunciado):
    • Os termos são positivos para todo n.
    • A série é a soma termo a termo de duas sequências: \left(\frac{3}{5^{n}}\right) e \left(\frac{2}{n}\right).

Passo 2

Separar a série em duas séries e lembrar uma propriedade importante.
  • Podemos escrever os somatórios parciais como, para todo N,
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{3}{5^{n}}+\frac{2}{n}\right) =\sum_{n=1}^{N}\frac{3}{5^{n}}+\sum_{n=1}^{N}\frac{2}{n}=A_N+B_N.
  • Observação útil (regra usada em provas): se dois somatórios convergirem, então a soma termo a termo converge para a soma das somas. Mas se um dos somatórios divergir para +\infty e todos os termos forem não-negativos, então a soma termo a termo também diverge para +\infty. Teremos isso em mente para comparar as partes.

Passo 3

Analisar a primeira série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{5^{n}} (série geométrica).
  • Reconhecer formato geométrico: \frac{3}{5^{n}}=3\left(\frac{1}{5}\right)^{n}. É uma série geométrica com razão r=\frac{1}{5} e o primeiro termo (quando n=1) igual a \frac{3}{5}.
  • Fórmula da soma de uma série geométrica convergente: se |r|<1 então
\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=\frac{a}{1-r}.
  • Ajustando ao nosso formato (começa em n=1 com termo 3\left(\frac{1}{5}\right)):
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{5^{n}}=3\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{1-\tfrac{1}{5}} =\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}.
  • Conclusão: a primeira série converge e sua soma é \frac{3}{4}.

Passo 4

Analisar a segunda série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n} (constante vezes a série harmônica).
  • Escrever \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n}=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
  • Saber fundamental: a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} diverge. Uma forma padrão de ver isto é pelo teste da integral: para f(x)=\frac{1}{x}, que é positiva e decrescente em [1,\infty),
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx=\lim_{t\to\infty}\ln t=+\infty,
portanto, pelo teste da integral, \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} diverge.
  • Como multiplicar uma série divergente por uma constante positiva mantém a divergência, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n}=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty.

Passo 5

Concluir sobre a série original usando comparação simples.
  • Como todos os termos são não-negativos, para todo N vale
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{3}{5^{n}}+\frac{2}{n}\right) \ge \sum_{n=1}^{N}\frac{2}{n}.
  • O lado direito tende a +\infty quando N\to\infty (veja passo anterior). Logo S_N\to+\infty.
  • Portanto a série \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{5^{n}}+\frac{2}{n}\right) diverge, mais especificamente diverge para +\infty.

Resposta

Diverge para +\infty

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