Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede-se analisar a série
: determinar se ela converge e, se convergisse, calcular a soma. - Informações dadas (já na forma do enunciado):
- Os termos são positivos para todo
. - A série é a soma termo a termo de duas sequências:
e .
- Os termos são positivos para todo
Passo 2
Separar a série em duas séries e lembrar uma propriedade importante.
- Podemos escrever os somatórios parciais como, para todo
,
- Observação útil (regra usada em provas): se dois somatórios convergirem, então a soma termo a termo converge para a soma das somas. Mas se um dos somatórios divergir para
e todos os termos forem não-negativos, então a soma termo a termo também diverge para . Teremos isso em mente para comparar as partes.
Passo 3
Analisar a primeira série
(série geométrica).
- Reconhecer formato geométrico:
. É uma série geométrica com razão e o primeiro termo (quando ) igual a . - Fórmula da soma de uma série geométrica convergente: se
então
- Ajustando ao nosso formato (começa em
com termo ):
- Conclusão: a primeira série converge e sua soma é
.
Passo 4
Analisar a segunda série
(constante vezes a série harmônica).
- Escrever
. - Saber fundamental: a série harmônica
diverge. Uma forma padrão de ver isto é pelo teste da integral: para , que é positiva e decrescente em ,
portanto, pelo teste da integral,
diverge.
- Como multiplicar uma série divergente por uma constante positiva mantém a divergência, concluímos que
Passo 5
Concluir sobre a série original usando comparação simples.
- Como todos os termos são não-negativos, para todo
vale
- O lado direito tende a
quando (veja passo anterior). Logo . - Portanto a série
diverge, mais especificamente diverge para .
Resposta
Diverge para