(a) Determine os intervalos de convergência de f(x) e f^{\prime}(x) sabendo que
[
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3){n}}{n{2}}
]
(b) Represente em série de potências a integral (6) e determine o raio R de convergencia.
[
\int \operatorname{sen}\left(x^{2}\right) \mathrm{d} x
]
Note que sen (x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1)!} x^{2 n+1}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas distintas:
(a) Para f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-3)^{n}}{n^{2}}:
Determinar os intervalos de convergência de f(x) e de f'(x).
Informações dadas: a expressão da série de potências centrada em x=3 com termos \dfrac{(x-3)^{n}}{n^{2}}, n=1,2,\dots.
(b) Para a integral \displaystyle\int \operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\,\mathrm{d}x:
Representar a primitiva em série de potências (ou seja, encontrar a série que representa a integral).
Entendendo séries de potências e raio de convergência (mini-aula antes de aplicar):
Uma série de potências centrada em x=a tem a forma \displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n. Existe um número R\in[0,\infty] (o raio de convergência) tal que a série converge absolutamente para |x-a|<R e diverge para |x-a|>R. Nos casos |x-a|=R é preciso testar os extremos separadamente.
Para calcular R pode-se usar o teste da raiz: \displaystyle \frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}. Também o teste da razão funciona quando aplicável.
Dentro do intervalo aberto |x-a|<R pode-se somar, derivar e integrar a série termo a termo; essas operações preservam o mesmo raio R.
Passo 3
Aplicando o teste da raiz para f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-3)^{n}}{n^{2}}:
Aqui os coeficientes da potência são c_n=\dfrac{1}{n^{2}} (para n\ge1) e a série é centrada em a=3.
Conclusão: a série converge absolutamente quando |x-3|<1 e diverge quando |x-3|>1. Portanto o raio de convergência é R=1.
Passo 4
Testando os extremos para f(x): x=3+1=4 e x=3-1=2.
Para x=4: (x-3)^n=1, a série vira
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2},
que é a série p com p=2>1, logo converge (convergência absoluta).
Para x=2: (x-3)^n=(-1)^n, a série vira
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}.
Como \sum 1/n^2 converge, esta converge também absolutamente. Logo o extremo x=2 também é convergente.
Portanto a série que define f(x) converge em |x-3|<1 e também em ambos os extremos, isto é no intervalo fechado [2,4].
Passo 5
Derivando termo a termo para obter f'(x) (mini-aula sobre derivação de séries):
Teorema importante: se uma série de potências tem raio R>0, então ela pode ser diferenciada termo a termo dentro do disco |x-a|<R e a série derivada tem o mesmo raio R.
Aplicando: derivada de cada termo \dfrac{(x-3)^n}{n^2} em relação a x é
Reindexando f'(x) para uma forma padrão e calculando raio:
Faço m=n-1 (portanto m=0,1,2,\dots), então
f'(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(x-3)^{m}}{m+1}.
Coeficientes aqui são d_m=\dfrac{1}{m+1}. Pelo mesmo raciocínio do teste da raiz/razão, \sqrt[m]{d_m}\to 1, logo o raio de convergência também é R=1. Assim a série para f'(x) converge absolutamente para |x-3|<1.
que é a série alternada dos harmônicos (começando em k=1) e converge (pela série de Leibniz) — de fato converge condicionalmente para \ln 2. Observação: aqui a convergência é condicional (não absoluta), pois \sum 1/(m+1) diverge.
Portanto f' converge em |x-3|<1 e no extremo x=2, mas diverge em x=4. Em notação de intervalo: [2,4).
Passo 8
Resumo parcial (antes de passar ao item (b)), para ficar claro:
f(x) tem raio R=1 e converge em |x-3|<1 e também em x=2 e x=4, logo no intervalo [2,4].
f'(x) (obtida por diferenciação termo a termo) tem raio R=1, converge para |x-3|<1 e em x=2, mas diverge em x=4; portanto o intervalo de convergência de f' é [2,4).
Passo 9
Agora o item (b): construir série para \displaystyle\int \operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\,\mathrm{d}x.
Primeiro, substituir x^2 na série de \operatorname{sen}:
Integrando termo a termo (mini-aula sobre integração de séries):
Como \operatorname{sen}(x) é uma função inteira (série de potência com raio infinito), a série de \operatorname{sen}(x^2) também tem raio infinito; dentro desse raio (no caso todo \mathbb{R}) pode-se integrar termo a termo.
Integro cada termo \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{4n+2} em x:
Portanto uma primitiva (somando os termos e adicionando constante de integração C) é
\int \operatorname{sen}\bigl(x^2\bigr)\,\mathrm{d}x =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!\,(4n+3)}\,x^{4n+3} + C.
Passo 11
Determinar o raio de convergência da série obtida:
A série original de \operatorname{sen}(x) tem raio infinito; a substituição x\mapsto x^2 não reduz o raio (a convergência é válida para todo x), e a integração termo a termo também preserva o raio de convergência.
Alternativamente, pode-se aplicar o teste da razão/raiz aos coeficientes \dfrac{1}{(2n+1)!(4n+3)} e verificar que decaem factorialmente, de modo que o raio é R=\infty.
Conclusão: a série da primitiva converge para todo x, ou seja R=\infty.
Resposta
(a) f(x) converge para |x-3|<1 e também nos extremos x=2 e x=4; intervalo de convergência de f: [2,4].\n(a) f'(x) (obtida termo a termo) converge para |x-3|<1 e em x=2 mas diverge em x=4; intervalo de convergência de f': [2,4).\n(b) \displaystyle\int \operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)\,\mathrm{d}x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!\,(4n+3)}\,x^{4n+3}+C,\quad R=\infty