Verifique, por meio do Teste da Razão ou do Teste da Raiz, se cada série dada a seguir é (absolutamente) convergente ou divergente. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n^{2}}}{n!}.
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n^{2}}}{n!}
e pede para verificar, usando o Teste da Razão ou o Teste da Raiz, se a série é convergente, absolutamente convergente ou divergente. Informação relevante: todos os termos são positivos, isto é, a_n=\dfrac{2^{n^{2}}}{n!}>0 para todo n.
Passo 2
Vamos usar o Teste da Raiz (é o mais natural aqui por causa do expoente n^{2}). Vou primeiro enunciar o teste e explicar o que cada coisa significa.
O Teste da Raiz diz o seguinte.
\text{Se }L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|},
então
se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente;
se L>1, a série \sum a_n diverge;
se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui |a_n| é o valor absoluto do termo (aqui já é a_n pois os termos são positivos), e \sqrt[n]{|a_n|} é a raiz n-ésima do termo. A ideia é medir a taxa de crescimento média de a_n por termo.
Passo 3
Escrevo a raiz n-ésima do termo geral da série. Como a_n=\dfrac{2^{n^{2}}}{n!}, temos
Como o quociente dos termos tende a 2>1, a sequência \dfrac{2^{n}}{n} cresce geometricamente (eventualmente) e, portanto, é não limitada superiormente — isto é, tende a +\infty. Logo
\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{n}=+\infty.
Passo 7
Juntando os resultados: \sqrt[n]{a_n}\ge \dfrac{2^{n}}{n} e a última expressão tende a +\infty. Portanto
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=+\infty>1.
Pelo Teste da Raiz, quando o \limsup das raízes é maior que 1 a série diverge.
Como os termos são positivos, “diverge” já implica que não é absolutamente convergente (pois absoluta convergência é convergência da série de valores absolutos).
Resposta
A série diverge (não é absolutamente convergente).