Verifique, por meio do Teste da Razão ou do Teste da Raiz, se cada série dada a seguir é (absolutamente) convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n^{2}}}{n!}.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n^{2}}}{n!}
e pede para verificar, usando o Teste da Razão ou o Teste da Raiz, se a série é convergente, absolutamente convergente ou divergente. Informação relevante: todos os termos são positivos, isto é, a_n=\dfrac{2^{n^{2}}}{n!}>0 para todo n.

Passo 2

Vamos usar o Teste da Raiz (é o mais natural aqui por causa do expoente n^{2}). Vou primeiro enunciar o teste e explicar o que cada coisa significa.
O Teste da Raiz diz o seguinte.
\text{Se }L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|},
então
  • se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente;
  • se L>1, a série \sum a_n diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui |a_n| é o valor absoluto do termo (aqui já é a_n pois os termos são positivos), e \sqrt[n]{|a_n|} é a raiz n-ésima do termo. A ideia é medir a taxa de crescimento média de a_n por termo.

Passo 3

Escrevo a raiz n-ésima do termo geral da série. Como a_n=\dfrac{2^{n^{2}}}{n!}, temos
\sqrt[n]{a_n}=\left(\frac{2^{n^{2}}}{n!}\right)^{1/n}=\frac{2^{n}}{(n!)^{1/n}}.

Passo 4

Agora faço uma estimativa simples e robusta para (n!)^{1/n}. Observação elementar: para n\ge1 cada fator de n! é menor ou igual a n, ou seja
n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n \le n\cdot n\cdot n\cdots n = n^{n}.
Tomando raiz n-ésima em ambos os lados obtemos
(n!)^{1/n}\le n.
Expliquei isso porque comparar cada fator com n é uma ideia bem direta e não precisa de fórmulas avançadas (como Stirling).

Passo 5

Usando a desigualdade do passo anterior, obtemos um limite inferior para \sqrt[n]{a_n}:
\sqrt[n]{a_n}=\frac{2^{n}}{(n!)^{1/n}}\ge \frac{2^{n}}{n}.
Portanto
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\ge \lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{n}.

Passo 6

Mostro que \dfrac{2^{n}}{n}\to\infty. Uma maneira rápida de ver isso é observar o quociente entre termos consecutivos:
\frac{\frac{2^{n+1}}{n+1}}{\frac{2^{n}}{n}}=\frac{2n}{n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}2.
Como o quociente dos termos tende a 2>1, a sequência \dfrac{2^{n}}{n} cresce geometricamente (eventualmente) e, portanto, é não limitada superiormente — isto é, tende a +\infty. Logo
\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{n}=+\infty.

Passo 7

Juntando os resultados: \sqrt[n]{a_n}\ge \dfrac{2^{n}}{n} e a última expressão tende a +\infty. Portanto
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=+\infty>1.
Pelo Teste da Raiz, quando o \limsup das raízes é maior que 1 a série diverge.
Como os termos são positivos, “diverge” já implica que não é absolutamente convergente (pois absoluta convergência é convergência da série de valores absolutos).

Resposta

A série diverge (não é absolutamente convergente).

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