2. Decaimento Radioativo

A quantidade de uma substância radioativa decai segundo a função Q(t)=Q_{0} e^{-k t}, onde Q_{0} é a quantidade inicial, k é a constante de decaimento e t é o tempo em anos. Uma amostra contém inicialmente 100 g de uma substância cujo tempo de meia-vida é de 5 anos. Qual será a quantidade restante da substância após 15 anos?
A) 12,5 \mathrm{~g}
B) 25 g
C) 20 g
D) 30 g

Passo 1

O enunciado dá o modelo de decaimento
Q(t)=Q_{0}e^{-k t},
onde Q_{0}=100 g é a quantidade inicial, k é a constante de decaimento e o tempo de meia-vida satisfaz T_{1/2}=5 anos. Queremos Q(15), a quantidade após 15 anos.

Passo 2

Para relacionar a meia-vida com k usamos
T_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}
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k=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}=\frac{\ln 2}{5}.

Passo 3

Agora calculamos
Q(15)=100\,e^{-k\cdot15} =100\,e^{-\frac{\ln 2}{5}\cdot15} =100\,e^{-3\ln 2} =100\cdot2^{-3} =100\cdot\frac{1}{8} =12,5.
Portanto, a massa restante após 15 anos é 12,5 g.

Resposta

A) 12,5 g

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