O enunciado dá a série infinita e pede o seu valor:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n!}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O índice n varia de 1 a \infty.
O termo geral é \dfrac{(-1)^{n-1}}{n!}.
A tarefa é avaliar (somar) a série — encontrar uma expressão fechada para essa soma.
Passo 2
Verificar se a série converge (pra ter segurança ao manipulá-la). Vou mostrar que a série converge absolutamente — isto facilita bastante porque séries absolutamente convergentes são, em particular, convergentes.
Conhece‑se a expansão da função exponencial (veja passo seguinte) que dá a soma da série \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}=e. Logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}=e-1<\infty,
portanto a série original converge absolutamente. Comentário curto e amigo: isso quer dizer que a soma existe e que podemos manipular os termos com cuidado (por exemplo, separar o primeiro termo, trocar sinais algebraicamente etc.).
Passo 3
Apresentar uma ferramenta chave: a série de Taylor (Maclaurin) da função exponencial. Para todo número real x vale a identidade conhecida
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}.
Aqui x é a variável real usada na função exponencial; o símbolo e é a base dos logaritmos naturais e aparece justamente como e^1. Essa série é válida para todo x (raio de convergência infinito) e é a forma padrão de expandir e^{x} em potências de x.
Passo 4
Usar a série do passo anterior com x=-1. Substituindo x=-1 obtemos
e^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}.
Separando o termo n=0 (que vale \dfrac{(-1)^0}{0!}=1) da soma, encontramos
e^{-1}=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}.
A partir daí isolamos a soma que aparece no lado direito:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}=e^{-1}-1.
Passo 5
Relacionar a soma pedida com a expressão do passo anterior. A soma que queremos é
S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n!}.
Observe que (-1)^{n-1}=-\,(-1)^{n}. Assim
S=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}.
Usando o resultado do passo 4, \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n!}=e^{-1}-1, segue que
S= -\bigl(e^{-1}-1\bigr).
Passo 6
Breve verificação numérica rápida (sanity check): os primeiros termos de S são