O Sumário Eudemiano dá conta de que, à época de Pitágoras, havia três médias, a aritmética, a geométrica e a subcontrária, sendo o último nome mudado mais tarde por Arquitas e Hipaso para harmônica. Definem-se essas três médias para dois números positivos a e b como
A=\frac{a+b}{2}, \quad G=\sqrt{a b}, \quad H=\frac{2 a b}{a+b},
respectivamente.
Mostre que A \geq G \geq H, valendo a igualdade, se, e somente se, a=b.

Passo 1

O enunciado dá duas variáveis positivas a e b e define três médias:
A=\frac{a+b}{2},\qquad G=\sqrt{ab},\qquad H=\frac{2ab}{a+b}.
O que se pede: mostrar que
A\ge G\ge H,
e identificar quando ocorre igualdade (mostrar que a igualdade vale se, e somente se, a=b). Vou usar todas as informações acima (as fórmulas das médias e a hipótese a>0, b>0).

Passo 2

Provar A\ge G. Ideia básica: usar que o quadrado de qualquer número real é não negativo. Considere o quadrado da diferença:
(a-b)^2 \ge 0.
Vou desenvolver essa desigualdade passo a passo.

Passo 3

Expandindo (a-b)^2 obtemos
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \ge 0.
Somando 4ab aos dois membros dá
a^2 + 2ab + b^2 \ge 4ab.
O lado esquerdo é (a+b)^2, então
(a+b)^2 \ge 4ab.
Dividindo ambos os lados por 4 (positivo) resulta
\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \ge ab.
Agora, como A=(a+b)/2\ge 0 e G=\sqrt{ab}\ge 0, podemos tirar raiz quadrada preservando a desigualdade e obtemos
A \ge G.

Passo 4

Quando ocorre igualdade em A\ge G? Voltando à origem da desigualdade, ela veio de (a-b)^2\ge0. A igualdade (a-b)^2=0 acontece exatamente quando a-b=0, isto é, quando a=b. Portanto, A=G se, e somente se, a=b.

Passo 5

Provar G\ge H. Uma forma elegante é aplicar o mesmo raciocínio do passo anterior, mas aos recíprocos 1/a e 1/b (esses recíprocos existem e são positivos porque a>0 e b>0). Definindo x=1/a e y=1/b, pelo resultado já provado temos
\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}.
Voltando às variáveis originais isso é
\frac{1}{2}\!\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \ge \frac{1}{\sqrt{ab}}.

Passo 6

Observar que a expressão à esquerda é exatamente o recíproco de H:
\frac{1}{H}=\frac{a+b}{2ab}=\frac{1}{2}\!\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right).
E a expressão à direita é o recíproco de G:
\frac{1}{G}=\frac{1}{\sqrt{ab}}.
Portanto a desigualdade do passo anterior pode ser escrita como
\frac{1}{H} \ge \frac{1}{G}.
Como G>0 e H>0, inverter os recíprocos preserva a relação trocando o sentido, isto é, a desigualdade acima equivale a
G \ge H.

Passo 7

Quando ocorre igualdade em G\ge H? A igualdade \dfrac{1}{H}=\dfrac{1}{G} equivale a \dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b} (pela aplicação do caso da igualdade do passo 2 aos recíprocos), e isso acontece exatamente quando a=b. Logo, G=H se, e somente se, a=b.

Resposta

\displaystyle A\ge G\ge H, valendo a igualdade se, e somente se, \displaystyle a=b.

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