O Sumário Eudemiano dá conta de que, à época de Pitágoras, havia três médias, a aritmética, a geométrica e a subcontrária, sendo o último nome mudado mais tarde por Arquitas e Hipaso para harmônica. Definem-se essas três médias para dois números positivos
e
como
respectivamente.
Mostre que
, valendo a igualdade, se, e somente se,
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado dá duas variáveis positivas
e
e define três médias:
O que se pede: mostrar que
e identificar quando ocorre igualdade (mostrar que a igualdade vale se, e somente se,
). Vou usar todas as informações acima (as fórmulas das médias e a hipótese
,
).
Passo 2
Provar
. Ideia básica: usar que o quadrado de qualquer número real é não negativo. Considere o quadrado da diferença:
Vou desenvolver essa desigualdade passo a passo.
Passo 3
Expandindo
obtemos
Somando
aos dois membros dá
O lado esquerdo é
, então
Dividindo ambos os lados por
(positivo) resulta
Agora, como
e
, podemos tirar raiz quadrada preservando a desigualdade e obtemos
Passo 4
Quando ocorre igualdade em
? Voltando à origem da desigualdade, ela veio de
. A igualdade
acontece exatamente quando
, isto é, quando
. Portanto,
se, e somente se,
.
Passo 5
Provar
. Uma forma elegante é aplicar o mesmo raciocínio do passo anterior, mas aos recíprocos
e
(esses recíprocos existem e são positivos porque
e
). Definindo
e
, pelo resultado já provado temos
Voltando às variáveis originais isso é
Passo 6
Observar que a expressão à esquerda é exatamente o recíproco de
:
E a expressão à direita é o recíproco de
:
Portanto a desigualdade do passo anterior pode ser escrita como
Como
e
, inverter os recíprocos preserva a relação trocando o sentido, isto é, a desigualdade acima equivale a
Passo 7
Quando ocorre igualdade em
? A igualdade
equivale a
(pela aplicação do caso da igualdade do passo 2 aos recíprocos), e isso acontece exatamente quando
. Logo,
se, e somente se,
.