Determine e classifique os pontos críticos (máximo local, mínimo local ou sela) da função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e classificar os pontos críticos da função
. Isso significa que vamos descobrir onde a função tem máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 3
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações formado por (1) e (2). Substituindo
na equação (2):
Isso dá:
Então, as soluções para
são:
Passo 5
Agora, encontramos os valores de
correspondentes:
- Se
:
- Se
:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 6
Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Passo 7
Calculamos o determinante da Hessiana (D):
Vamos avaliar
em cada ponto crítico:
- No ponto
:
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
- No ponto
:
Como
e
, o ponto
é um mínimo local.
Resposta
A função
tem dois pontos críticos:
-
é um ponto de sela. -
é um mínimo local.