Determine e classifique os pontos críticos (máximo local, mínimo local ou sela) da função:
f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy + 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e classificar os pontos críticos da função . Isso significa que vamos descobrir onde a função tem máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 3

Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações formado por (1) e (2). Substituindo na equação (2):
Isso dá:
Então, as soluções para são:

Passo 5

Agora, encontramos os valores de correspondentes:
  • Se :
  • Se :
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 6

Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:

Passo 7

Calculamos o determinante da Hessiana (D):
Vamos avaliar em cada ponto crítico:
  • No ponto :
Como , o ponto é um ponto de sela.
  • No ponto :
Como e , o ponto é um mínimo local.

Resposta

A função tem dois pontos críticos:
  1. é um ponto de sela.
  2. é um mínimo local.

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