1. a) sumk=1^+infty[(23)^k-1+1k]

Passo 1

O enunciado pede para analisar e, se possível, calcular o valor da série sumk=1^inftyl[(tfrac23)^k-1+tfrac1kr]. O conteúdo está em séries numéricas, e vamos precisar usar a soma de séries geométricas e o comportamento da série harmônica.

Passo 2

Como a soma de séries é linear, podemos separar em duas séries independentes:
sumk=1^inftyl(tfrac23r)^k-1+sumk=1^inftytfrac1k

Passo 3

Para a série geométrica sumk=1^infty(tfrac23)^k-1, usamos que se |r|<1 então
sumk=1^inftyr^k-1=11-r
Aqui r=tfrac23, e |r|<1, logo
sumk=1^inftyl(tfrac23r)^k-1=11-tfrac23=3

Passo 4

Para a série harmônica sumk=1^inftytfrac1k, sabemos da teoria de séries que ela é divergente, ou seja, seus somatórios parciais crescem sem limite.

Passo 5

Como uma parte da soma diverge (a harmônica) e mesmo somando um valor finito (a geométrica), o resultado total não pode convergir. Portanto, a série original diverge.

Resposta

A série sumk=1^inftyl[(tfrac23)^k-1+tfrac1kr] diverge.

Exercícios relacionados