1. sumk=2^+infty k^25^k

Passo 1

A questão pede para calcular a série infinita sumk=2^infty k^25^k. O conteúdo aqui é séries de potências e vamos precisar da fórmula para sum k^2 x^k, que se obtém a partir de séries geométricas e derivadas.

Passo 2

Para séries de potência com |x|<1, podemos usar a fórmula conhecida:
sumk=0^infty k^2 x^k ,=, x(1+x)(1-x)^3

Passo 3

Como a soma começa em k=2, basta subtrair os termos de k=0 e k=1:
sumk=2^infty k^2 x^k ,=, sumk=0^infty k^2 x^k , -,0^2x^0 , -,1^2x^1 =, x(1+x)(1-x)^3 - x

Passo 4

Agora substituímos x=tfrac15 e simplificamos:
sumk=2^infty k^25^k ,=, tfrac15l(1+tfrac15r)l(1-tfrac15r)^3 - tfrac15 =, 6/25(4/5)^3 - 15 =, 6/2564/125 - 15 =, 6cdot12525cdot64 - 15 =, 3064 - 15 =, 1532 - 15 =, 75-32160 =, 43160

Resposta

tfrac43160

Exercícios relacionados