Resolva as integrais definidas a seguir, utilizando as propriedades de simetria.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral-pi^pi x^2 cos (x) , dx. Esse exercício está na área de Cálculo Integral e vamos utilizar as propriedades de simetria para facilitar a resolução. Para isso, vamos identificar se a função que estamos integrando é par ou ímpar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser par ou ímpar:
  • Função Par: $ f(-x) = f(x) $. Exemplos: $ \cos(x) $, $ x^{2} $.
  • Função Ímpar: $ f(-x) = -f(x) $. Exemplos: $ \sin(x) $, $ x $.
Nossa função é $ f(x) = x^{2} \cos(x) $. Vamos verificar se ela é par ou ímpar.

Passo 3

Calculando $ f(-x) $:
f(-x)
Já que $ f(-x) = f(x) $, a função $ f(x) = x^{2} \cos(x) $ é par.

Passo 4

Quando uma função é par, a integral de -a a a pode ser simplificada:
integral-a^a f(x) , dx = 2 integral0^a f(x) , dx
Aplicando isso à nossa integral:
integral-pi^pi x^2 cos(x) , dx = 2 integral0^pi x^2 cos(x) , dx

Passo 5

Agora, precisamos calcular $ \int_{0}^{\pi} x^{2} \cos(x) , dx $. Vamos usar a integração por partes, que é uma técnica para integrar produtos de funções. A fórmula é:
integral0^pi x^2 cos(x) , dx
Escolhemos $ u = x^{2} $ e $ dv = \cos(x) , dx $. Então, calculamos $ du $ e $ v $:
integral u , dv = uv - integral v , du
u = x^2

Passo 6

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^2 cos(x) , dx = x^2 sin(x) - integral sin(x) cdot 2x , dx
Simplificando:
= x^2 sin(x) - 2 integral x sin(x) , dx

Passo 7

Precisamos resolver $ \int x \sin(x) , dx $. Vamos usar integração por partes novamente, com:
integral x sin(x) , dx
u = x Rightarrow du = dx
Então:
dv = sin(x) , dx Rightarrow v = -cos(x)

Passo 8

Voltando à expressão anterior:
integral x^2 cos(x) , dx = x^2 sin(x) - 2 ( -x cos(x) + sin(x) )
= x^2 sin(x) + 2x cos(x) - 2 sin(x)

Passo 9

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a pi:
[ x^2 sin(x) + 2x cos(x) - 2 sin(x) ]0^pi
Calculando em x = pi:
pi^2 sin(pi) + 2pi cos(pi) - 2 sin(pi) = pi^2 cdot 0 + 2pi cdot (-1) - 2 cdot 0 = -2pi
E em x = 0:
0^2 sin(0) + 2 cdot 0 cos(0) - 2 sin(0) = 0 + 0 - 0 = 0
Então, a integral definida é:
-2pi - 0 = -2pi

Passo 10

Lembrando que a integral original era o dobro dessa parte:
integral-pi^pi x^2 cos(x) , dx = 2 cdot (-2pi) = -4pi

Resposta

integral-pi^pi x^2 cos(x) , dx = -4pi

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