Resolva as integrais definidas a seguir, utilizando as propriedades de simetria.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Esse exercício está na área de Cálculo Integral e vamos utilizar as propriedades de simetria para facilitar a resolução. Para isso, vamos identificar se a função que estamos integrando é par ou ímpar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser par ou ímpar:
- Função Par: $ f(-x) = f(x) $. Exemplos: $ \cos(x) $, $ x^{2} $.
- Função Ímpar: $ f(-x) = -f(x) $. Exemplos: $ \sin(x) $, $ x $.
Nossa função é $ f(x) = x^{2} \cos(x) $. Vamos verificar se ela é par ou ímpar.
Passo 3
Calculando $ f(-x) $:
Já que $ f(-x) = f(x) $, a função $ f(x) = x^{2} \cos(x) $ é par.
Passo 4
Quando uma função é par, a integral de
a
pode ser simplificada:
Aplicando isso à nossa integral:
Passo 5
Agora, precisamos calcular $ \int_{0}^{\pi} x^{2} \cos(x) , dx $. Vamos usar a integração por partes, que é uma técnica para integrar produtos de funções. A fórmula é:
Escolhemos $ u = x^{2} $ e $ dv = \cos(x) , dx $. Então, calculamos $ du $ e $ v $:
Passo 6
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Passo 7
Precisamos resolver $ \int x \sin(x) , dx $. Vamos usar integração por partes novamente, com:
Então:
Passo 8
Voltando à expressão anterior:
Passo 9
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Calculando em
:
E em
:
Então, a integral definida é:
Passo 10
Lembrando que a integral original era o dobro dessa parte: