sumk=1^infty k ln k(k+1)^3

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumk=1^infty k ln k(k+1)^3
e quer saber se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é teste de comparação com séries do tipo p-série (ou integral test), já que os termos são positivos.

Passo 2

Para grandes k, note que
k ln k(k+1)^3 sim k ln kk^3 = ln kk^2
Isto sugere comparar com a série
sumk=1^infty ln kk^2.

Passo 3

Sabemos que a série de termos gerais ln k / k^2 converge, pois por exemplo pelo teste da integral
integral1^infty ln xx^2,dx
é convergente (fazer u=ln x ou integração por partes dá valor finito). Logo existe uma constante C>0 tal que, para k grande,
0 <= k ln k(k+1)^3 <= C,ln kk^2,
e como sum ln k/k^2 converge, por comparação a nossa série também converge.

Resposta

A série sumk=1^infty k ln k(k+1)^3 converge.

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